Площадь четырехугольника

Теорема. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между содержащими их прямыми.

Доказательство. Докажем теорему для выпуклого четырехугольника ABCD (случай невыпуклого четырехугольника рассмотрите самостоятельно).

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника, ∠AOB = α (рис. 86). Четырехугольник ABCD составлен из треугольников OAB, OBC, OCD и ODA, поэтому его площадь S равна сумме площадей этих треугольников.

Площадь четырехугольника равна сумме площадей его треугольников

Учитывая, что sin (180º – α) = sin α, получаем:

S = ½ (OA * OB + OB * OC + OC * OD + OD * OA) sin α =
= ½ [OB (OA + OC) + OD (OC + OA)] sin α =
= ½ (OA + OC) (OB + OD) sin α = ½ AC * BD sin α.

Теорема доказана.