Площадь многоугольника

С понятием площади мы часто встречаемся в повседневной жизни. Например, каждый из нас понимает, что означают слова «площадь квартиры равна пятидесяти шести квадратным метрам».

В геометрии под площадью многоугольника понимается величина занимаемой им части плоскости. Измерение площади многоугольника основано на его сравнении с многоугольником, принятым за единицу измерения площадей. В качестве такой единицы измерения обычно используют квадрат со стороной, равной единице измерения отрезков. Например, если за единицу измерения отрезков принимают квадрат со стороной со стороной 1 см. Этот квадрат называют квадратным сантиметром и обозначают так: см2. Аналогично определяются квадратный метр (м2), квадратный миллиметр (мм2) и т. д.

Чтобы измерить площадь многоугольника, нужно узнать, сколько раз единица измерения площадей и ее части укладываются в данном многоугольнике. Это число и принимается за площадь многоугольника при данной единице измерения.

На практике измерение площади многоугольника можно осуществить так. Расчертим лист прозрачной бумаги на квадраты со стороной, равной единице измерения отрезков, наложим его на данный многоугольник и подсчитаем, сколько квадратов уложится в многоугольнике.

Обратимся к рисунку 79, а. На нем изображен прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз, поэтому площадь этого прямоугольника равна 6 см2.

Измерение площадей

Ясно, что квадрат, принятый за единицу измерения площадей, может не уложиться целое число раз в данном многоугольнике – получится остаток. Так будет, например, с трапецией ABCD на рисунке 79, б, в которой квадратный сантиметр укладывается 2 раза с остатком (треугольник CDE), но не укладывается 3 раза. В этом случае можно сказать, что площадь трапеции ABCD приближенно равна 2 см2.

Для получения более точного результата единицу измерения площади делят на 100 равных частей (рис. 79, в) и находят, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Глядя на рисунок 79, г (он, как и рисунок 79, в, выполнен в увеличенном масштабе), мы видим, что одна сотая часть квадратного сантиметра (квадратный миллиметр) укладывается в треугольнике CDE 14 раз с остатком (на рисунке 79, г остаток закрашен сиреневым цветом), в котором квадратный миллиметр не укладывается целиком. Поэтому в качестве следующего приближения площади трапеции ABCD можно взять 2,14 см2.

Остаток измеряется с помощью более мелкой доли квадратного сантиметра и получается еще более точное приближение, И хотя на практике пользуются приближенными значениями площадей, мысленно процесс измерения площади можно продолжать все дальше и дальше. Таким образом, описанный процесс измерения позволяет выразить площадь данного многоугольника некоторым положительным числом, показывающим, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в этом многоугольнике.

Говоря о площади квартиры, мы подразумеваем, в частности, что одинаковые квартиры имеют одну и ту же площадь, а сама площадь квартиры равна сумме площадей ее комнат и подсобных помещений. Применительно к многоугольникам это означает, что:

1. равные многоугольники имеют равные площади;

2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников (так, что внутренние области любых двух из них не имеют общих точек, см. рис. 80), то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Утверждения 1 и 2 выражают основные свойства площадей. Они представляются наглядно очевидными, но доказать их непросто (см. [2]).

Сумма площадей многоугольников

Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны. В силу основных свойств площадей любые два равносоставленных многоугольника равновелики. А верно ил обратное утверждение: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены? Оказывается, верно. Это утверждение называется теоремой Бойяи-Гервина. Ф. Бойяи (венгерский математик) доказал эту теорему в 1832 г., а П. Гервин (немецкий математик-любитель) независимо от Ф. Бойяи доказал ее в 1833 г. Доказательство теоремы Бойяи-Гервина можно найти, например, в [2].