Площадь параллелограмма

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S, примем его сторону AD за основание и проведем высоту BH (рис. 84).

Определение площади параллелограмма

Диагональ BD разделяет параллелограмм на равные треугольники ABD и BCD, поэтому величина S вдвое больше площади треугольника ABD, равной ½ AD * BH, т. е. S = AD * BH. Теорема доказана.

В качестве следствия из доказанной теоремы получаем следующее утверждение:

  • площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон, умноженному на синус угла между сторонами.

В самом деле, в ходе доказательства теоремы мы установили, что величина S вдвое больше площади треугольника ABD (см. рис. 84), равной ½ AB * AD * sin A, т. е.

S = AB * AD sin A.