О подобии произвольных фигур

Центральное подобие является частным случаем так называемого преобразования подобия. Преобразованием подобия с коэффициентом k > 0 называется отображение плоскости на себя, при котором любые две точки A и B переходят в такие точки A1 и B1, что A1B1 = kAB. Примерами преобразования подобия являются движение (при этом k = 1), центральное подобие, а также результат их последовательного выполнения.

Преобразование подобия часто используется в геометрии. С его помощью можно ввести понятие подобия произвольных фигур:

  • две фигуры называются подобными с коэффициентом k, если существует такое преобразование подобия с коэффициентом k, при котором одна из них переходит в другую.

Можно доказать (задача 68), что применительно к треугольникам это определение подобия равносильно определению из п. 78.

На рисунке 74 изображены фигуры F и F1, подобные с коэффициентом 2 (центральное подобие с центром O и коэффициентом 2 переводит фигуру F в фигуру F1).


Другими примерами подобных фигур являются две окружности, два квадрата, два прямоугольника, смежные стороны которых образуют золотое сечение, две географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.

Каждой точке M на первой карте соответствует точка M1 на второй карте, изображающая ту же самую точку на местности, что и точка M на первой карте. При этом расстояние между любыми точками на первой карте в определенное число раз больше (или меньше), чем расстояние между соответствующими им точками на второй карте. Так, например, на рисунке 75

LM/L1M1 = MN/M1N1 = NL/N1L1 = 1,5

(масштаб первой карты в 1,5 раза крупнее, чем масштаб второй карты).