Проектные и исследовательские задачи по геометрии, 9 класс

Проектные задачи

Проектные задачи выполняются с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика».

Глава 7
1. а) Задайте систему координат и постройте точки A (3; 6), B (2; 9), C (7, 8) и D (8; 5).
б) Отметьте точку пересечения отрезков AC и BD и измерьте ее координаты.

2. а) Проведите прямую и отметьте ее как ось отражения.
б) Отметьте точку и отразите ее относительно отмеченной оси.
в) Постройте два отрезка, общим концом которых служит отмеченная точка, и отразите их относительно отмеченной оси.
г) Подвигайте концы отрезков и отмеченную ось так, чтобы в процессе движения отрезки пересекали ось.
д) Объясните, почему точка пересечения исходного отрезка и симметричного ему отрезка (когда они пересекаются) лежит на оси отражения.

3. а) Нарисуйте два отрезка с общим концом и отметьте их.
б) Отметьте центр поворота и поверните вокруг него отмеченные отрезки сначала на 90º, а затем еще на 30º.
в) Подвигайте концы отмеченных отрезков и центр поворота так, чтобы в процессе движения центр поворота оказался на одном из отмеченных отрезков.
г) Объясните, почему когда один из отмеченных отрезков проходит через центр поворота, повернутый отрезок также проходит через центр поворота.

4. а) Нарисуйте треугольник и отметьте его стороны.
б) Отметьте центр гомотетии и сделайте гомотетию с отмеченным центром и коэффициентом ½.
в) Подвигайте вершины треугольника и центр так, чтобы: одна из сторон треугольника проходила через отмеченный центр; одна из вершин треугольника совпадала с центром.

Исследовательские задачи

1. Исследуйте расположение семейства окружностей Аполлония для данных точек A и B и различных значений k.

2. Исследуйте расположение семейства множеств точек M, заданных уравнением AM2 + BM2 = k = const для данных точек A и B и различных значений k.

3. Исследуйте положение радикальной оси двух окружностей в зависимости от их расположения.

4. а) Докажите, что любое движение плоскости является последовательным выполнением не более чем трех осевых симметрий. б) Докажите, что любое движение плоскости является параллельным переносом, поворотом или последовательным выполнением симметрии относительно прямой и параллельного переноса на вектор, параллельный этой прямой.

5. Выразите площадь выпуклого четырехугольника: а) через стороны и углы; б) через стороны и угол между диагоналями.

Темы рефератов и докладов

1. Окружности Аполлония и связанные с ними задачи.
2. Радикальная ось и радикальный центр окружностей, их использование при решении задач.
3. Теоремы Чевы и Менелая в векторной форме.
4. Применение геометрических преобразований при решении задач.
5. Применение геометрических преобразований в задачах на построение.
6. Решение задачи Эйлера (о прямой Эйлера и окружности Эйлера) с помощью центрального подобия.
7. Различные формулы площадей четырехугольников.
8. Равновеликие и равносоставленные многоугольники Теорема Бойяи-Гервина.
9. Многоугольники на решетке. Формула Пика.
10. Изопериметрические задачи.
11. Пространственная теорема Пифагора (различные формулировки).

Математика: