Некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками

Чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга, нам понадобятся некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками.

В 8 классе мы доказали, что около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и в правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну (см. «Введение»).

Рассмотрим окружность радиуса R и два правильных n-угольника — вписанный в эту окружность и описанный около нее. Выразим стороны, периметр и площади этих n-угольников через радиус R.

1. Сторона a правильного вписанного n-угольника является основанием равнобедренного треугольника с боковой стороной R и противолежащим основанию углом, равным 360º/n (рис. 87, а), поэтому a = 2R sin (180º/n) (рис. 87, б), а периметр P этого n-угольника выражается формулой

P = n * a = n * 2R sin (180º/n).      (1)

Периметр и площадь вписанного многоугольника

Поскольку рассматриваемый n-угольник составлен из n равнобедренных треугольников, равных треугольнику, изображенному на рисунке 87, б, и площадь одного такого треугольника равна ½ ah = ½ aR cos (180º/n) (см. рис. 87, б), то для площади Sвп правильного вписанного n-угольника получаем формулу

Sвп = n * ½ aR cos (180º/n) = ½ PR cos (180º/n). (2)

2. Сторона b правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса R, является основанием равнобедренного треугольника с высотой R и противолежащим основанию углом, равным 360º/n (рис. 88), поэтому b = 2R tg (180º/n), а периметр Q этого n-угольника выражается формулой

Q = n * b = n * 2R tg (180º/n).     (3)

Периметр описанного многоугольника

Сопоставляя формулы (1) и (3), приходим к равенству, связывающему периметры правильных вписанного и описанного n-угольников,

P = Q cos (180º/n).     (4)

Площадь треугольника, изображенного на рисунке 88, равна ½ bR, а правильных описанный n-угольник составлен из n таких треугольников, поэтому его площадь Sоп выражается формулой

Sоп = n * ½ bR = ½ QR.     (5)

Подставив в правую часть равенства (2) выражение (4) для периметра P, получим формулу, выражающую площадь правильного вписанного n-угольника через периметр Q правильного описанного n-угольника,

Sвп = ½ QR cos2 (180º/n).     (6)

Эти формулы понадобятся нам в следующих пунктах.