Построение сечений параллелепипеда

При построении сечений параллелепипеда мы будем руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии):
отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

Рассмотрим два примера.

Задача. На ребрах параллелепипеда отмечены точки A, B и C так, как показано на рисунке 104, а. Требуется построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC (т. е. плоскостью, проходящей через точки A, B и C).

Построение сечения параллелепипеда
Решение. Проведем сначала отрезки AB и BC, а затем, следуя указанному правилу, через точку A проведем прямую, параллельную прямой BC, а через точку C — прямую, параллельную прямой AB. Точки пересечения этих прямых с ребрами нижней грани обозначим буквами E и D (рис. 104, б). Наконец, проведем отрезок ED. Искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено.

Задача. На ребрах параллелепипеда отмечены точки A, B и C так, как показано на рисунке 105, а. Требуется построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Построение сечения параллелепипеда
Решение. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и отрезок AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Затем через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Она и является той прямой, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Проведенная прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F (см. рис. 105, б). Через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB, и обозначим буквой D точку ее пересечения с боковым ребром. Осталось провести отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено.

Математика: