Движения

Мы говорили, что осевая симметрия является отображением, сохраняющим расстояния. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением. Таким образом, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Из этого определения следует, что результат последовательного выполнения двух движений является движением (объясните почему).

В частности, последовательное выполнение двух осевых симметрий является движением, сохраняющим не только величину угла, но и его ориентацию.

Выясним, какое движение получается в результате последовательного выполнения двух осевых симметрий с осями l и m. Возможны два случая: прямые l и m параллельны; прямые l и m пересекаются. Рассмотрим эти случаи отдельно.

1. Обозначим буквой d расстояние между параллельными прямыми l и m и введем систему координат Oxy так, чтобы ось Ox совпала с прямой l, а прямая m имела уравнение y = d (рис. 70).

Рассмотрим произвольную точку M (x; y). При симметрии относительно прямой l она перейдет в точку N (x; –y). Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой m перейдет в такую точку M1, что прямая m окажется серединным перпендикуляром к отрезку NM1. Поэтому середина отрезка NM1 имеет координаты (x; d), и, следовательно, сама точка M1 — координаты (x; y + 2d).

Последовательные симметрии относительно прямых

Итак, в результате последовательного выполнения двух осевых симметрий произвольная точка M (x; y) перешла в точку M1 (x; y + 2d), т. е. в такую точку M1, что вектор имеет координаты {0; 2d}. Этот вектор перпендикулярен к осям l и m, а его длина равна удвоенному расстоянию между осями.

Отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит в такую точку M1, что вектор равен данному вектору , называется параллельным переносом на вектор .

2. Обозначим буквой O точку пересечения прямых l и m и выберем на этих прямых точки A и B так, чтобы угол AOB не был тупым (рис. 71).

Поскольку при каждой из симметрий с осями l и m точка O остается на месте, то она остается на месте и в результате последовательного выполнения этих симметрий.

При симметрии относительно прямой l точка A останется на месте, а при симметрии относительно прямой m она перейдет в такую точку A1, что

OA1 = OA и ∠AOA1 = 2∠AOB.

Возьмем теперь любую точку M, не лежащую на луче OA. В результате последовательного выполнения двух осевых симметрий она перейдет в такую точку M1, что

OM1 = OM и ∠A1OM1 = ∠AOM,

причем ориентация этих углов одинаковая. Следовательно, угол MOM1 также равен 2∠AOB (докажите это).

Таким образом, в результате последовательного выполнения двух осевых симметрий точка O осталась на месте, а произвольная точка M перешла в такую точку M1, что OM1 = OM и ∠MOM1 = 2∠AOB. Кроме того, направление поворота вокруг точки O от OM к OM1 такое же, как от OA к OB (на рисунке 71 против часовой стрелки).

Это движение называется поворотом вокруг точки O на угол, равный 2∠AOB. В частности, если ∠AOB = 90º, то в результате последовательного выполнения указанных симметрий получится поворот вокруг точки O на 180º, т. е. движение, сопоставляющее каждой точке M плоскости такую точку, которая симметрична точке M относительно точки O. Такое движение называется центральной симметрией, а точка O — центром симметрии.