Введение к учебнику геометрии, 9 класс

В 7 и 8 классах вы изучали свойства геометрических фигур на плоскости. При этом использовались различные приемы и методы в доказательствах теорем и решениях задач.

Значительная часть курса геометрии в 9 классе будет посвящена еще одному очень важному и эффективному методу исследования свойств геометрических фигур – векторно-координатному методу. Кроме того, из учебника 9 класса вы узнаете о том, как измеряются и вычисляются площади геометрических фигур, и получите возможность приоткрыть дверь в стереометрию – это та часть геометрии, в которой изучаются геометрические фигуры в пространстве; более основательно стереометрией вы будете заниматься на уроках геометрии в старших классах. А в 9 классе мы будем опираться на то, что вы узнали и чему научились в 7 и 8 классах. Поэтому напомним основные определения и утверждения, с которыми вы познакомились в 8 классе.

В четвертой главе (с нее начинается учебник геометрии 8 класса) рассматривались признаки и свойства параллельных прямых. Была доказана теорема, выражающая признак параллельности двух прямых:

  • если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны (рис. 1).


Из этой теоремы выведены. следствия, дающие еще два признака параллельности прямых:

  • если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны (рис. 2);
  • если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то эти прямые параллельны (рис. 3).

Затем была доказана основная теорема о параллельных прямых:

  • через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Из этой теоремы выведены два следствия:

  • если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую;
  • если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

С помощью основной теоремы о параллельных прямых была доказана теорема о свойстве параллельных прямых, которая является обратной по отношению к теореме о признаке параллельности двух прямых, связанном с накрест лежащими углами:

  • если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Из этой теоремы выведены четыре следствия:

  • если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны;
  • если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º;
  • если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой;
  • все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой (рис. 4).


С помощью последнего следствия доказано утверждение:

  • множество всех точек плоскости, расположенных по одну сторону от данной прямой и равноудаленных от нее, есть прямая, параллельная данной.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой мы назвали расстоянием между этими прямыми.

Последний параграф четвертой главы посвящен вписанным и описанным окружностям. В нем доказаны следующие теоремы:

  • биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;
  • в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну (доказательство этой теоремы опирается на предыдущую теорему, поскольку центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис, рис. 5);
  • серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;
  • около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну (доказательство этой теоремы опирается на предыдущую теорему, поскольку центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, рис. 6).

В пятой главе рассматривались многоугольники, причем наибольшее внимание было уделено четырехугольникам. Были доказаны утверждения:

  • сумма углов выпуклого n-угольника равна (n – 2) * 180º;
  • в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны (рис. 7);
  • в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180º (рис. 8).

Для двух последних утверждений справедливы обратные утверждения, выражающие признаки описанного и вписанного четырехугольников (сформулируйте самостоятельно эти обратные утверждения).

Особое внимание было уделено правильным многоугольникам. Напомним, что выпуклый многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и равны все его углы. В отношении правильных многоугольников доказаны две теоремы:

  • около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну;
  • в правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр описанной около правильного многоугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Отдельный параграф пятой главы посвящен специальным видам четырехугольников: параллелограмму и трапеции.

Напомним, что параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 9). Сначала было доказано, что

  • параллелограмм – выпуклый четырехугольник,
  • а затем были доказаны теоремы о свойствах и признаках параллелограмма:
  • в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (рис. 10);
  • диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 11); если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм;
  • если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм;
  • если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.


Прямоугольник (так называется четырехугольник, у которого все углы прямые) является частным случаем параллелограмма. Были доказаны две теоремы о признаках прямоугольника:

  • если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник;
  • если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Для последнего утверждения справедливо обратное (свойство прямоугольника):

  • диагонали прямоугольника равны (рис. 12).


Другим частным случаем параллелограмма является ромб – это параллелограмм, все стороны которого равны.

Сначала было доказано утверждение об особом свойстве ромба:

  • диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (рис. 13),


а затем доказаны две теоремы о признаках ромба:

  • если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб;
  • если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм – ромб.

Еще один вид четырехугольников, рассмотренных в этом параграфе, – трапеция (рис. 14). Так называется четырехугольник, две стороны которого параллельны (они называются основаниями трапеции), а две другие стороны не параллельны (они называются боковыми сторонами трапеции).


В этом же параграфе были введены понятия, связанные с симметрией относительно точки и симметрией относительно прямой. Напомним эти понятия.

Точки A и A1 называются симметричными относительно точки O, если точка O — середина отрезка AA1 (рис. 15); точка O считается симметричной самой себе.


Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка (относительно точки О) также принадлежит этой фигуре. При этом точка О называется центом симметрии фигуры, а о фигуре говорят, что она обладает центральной симметрией (рис. 16).

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой a, если прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку АА1 (рис. 17); каждая точка прямой a считается симметричной самой себе.


Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка (относительно прямой a) также принадлежит этой фигуре. При этом прямая a называется осью симметрии фигуры, а о фигуре говорят, что она обладает осевой симметрией (рис. 18).

В заключительном параграфе пятой главы были даны определения средней линии треугольника (так называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон, рис. 19) и средней линии трапеции (так называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон, рис. 20) и доказаны две теоремы:

  • средняя линия треугольника параллельна одной иэ его сторон и равна половине этой стороны (см. рис. 19);
  • средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме (см. рис. 20).

Затем была доказана теорема Фалеса:

  • если на одной из сторон угла от его вершины отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то они отсекут на второй стороне равные отрезки (рис. 21).

С помощью теоремы Фалеса была теорема о пересечении медиан треугольника:

  • медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 22).

В этом же параграфе доказана теорема о пересечении высот треугольника:

  • высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) называется ортоцентром треугольника (рис. 23).

Шестая глава посвящена решению треугольников. В ней сначала были даны определения косинуса и синуса острого угла прямоугольного треугольника: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе, а синусом – отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе (рис. 24). Затем было доказано, что

  • если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны и синусы этих углов равны.

Это позволяет говорить кратко: «косинус острого угла» и «синус острого угла», не указывая при этом, о каком именно прямоугольном треугольнике и его остром угле идет речь.

Далее было выведено основное тригонометрическое тождество

sin2 A + cos2 A = 1,

и с его помощью доказана одна из важнейших теорем геометрии – теорема Пифагора:

  • в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 25),

а затем теорема обратная теореме Пифагора:

  • если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Далее синус и косинус были определены для углов от 90º до 180º. В основе этого определения лежат формулы

sin α = 2 sin (α/2) * cos (α/2),     (1)
cos α = 2cos2 (α/2) – 1.     (2)

Для углов α из промежутка 0º < α < 90º справедливость равенств (1) и (2) была доказана, а для любого угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º формулы (1) и (2) применяются в качестве определения синуса и косинуса этого угла, т. е.

  • синусом угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º называется число 2 sin (α/2) * cos (α/2);
  • косинусом угла α из промежутка 90º ≤ α ≤ 180º называется число 2cos2 (α/2) – 1.

Кроме того, мы полагаем по определению, что sin 0º = 0, cos 0º = 1.

Из наших определений следует, что основное тригонометрическое тождество sin2 α + cos2 α = 1 справедливо для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º.
Напомним также следующие формулы (они называются формулами приведения):

sin (90º – α) = cos α, cos (90º – α) = sin α,     (3)
sin (180º – α) = sin α, cos (180º – α) = –cos α.     (4)

Формулы (3) справедливы для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 90º, а формулы (4) – для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º.

С помощью синуса и косинуса мы определили еще две тригонометрические функции — тангенс и котангенс:

tg α = sin α / cos α (0º ≤ α ≤ 180º, α ≠ 90º),
ctg α = cos α / sin α (0º < α < 180º).

Центральное место в шестой главе занимают теоремы синусов и косинусов. Предварительно была доказана теорема:

  • сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла (рис. 26).


Из этой теоремы непосредственно следует теорема синусов:

  • стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 27).

Теорема косинусов:

  • квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон умноженное на косинус угла между ними (рис. 28).


Из теоремы косинусов выведено следствие:

  • если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы.

С помощью теоремы синусов была доказана теорема о биссектрисе треугольника:

  • биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 29).

Последний параграф шестой главы посвящен важной теме – подобию треугольников.

Напомним определение подобных треугольников: два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника (рис. 30).

Сначала была доказана теорема об углах подобных треугольников:

  • если два треугольника подобны, то углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника,

а затем – две теоремы о признаках подобия треугольников:

  • если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (первый признак, рис. 31);
  • если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (второй признак, рис. 32).


С помощью второго признака подобия треугольников были доказаны две теоремы:

  • если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (теорема об отрезках пересекающихся хорд, рис. 33);
  • если через точку М проведены касательная МК, где К – точка касания, и секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то МК2 = МА * МВ (теорема о квадрате касательной, рис. 34).


Все, что мы изучили в 7 и 8 классах, понадобится нам для дальнейшего изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве.

Математика: