Историческая справка по геометрии

Первоначальный очерк истории геометрии приведен в учебнике 7 класса. Теперь, когда вы познакомились со многими новыми понятиями, историю геометрии можно обсудить более полно.

Уже при самом зарождении геометрия изучала площади и объемы. В Древнем Египте и Вавилонии умели вычислять площадь треугольника и трапеции, а площадь круга вычисляли приближенно; умели вычислять также объем пирамиды. Математика в этих государствах была догматической – правила использовались без какого-либо их обоснования. Это было связано с деспотическим строем, требовавшим жесткого подчинения. Математикам не нужно было убеждать других в истинности их правил и методов, никто не отваживался с ними спорить.

Жаркие споры с целью выяснения истины и правильных способов рассуждений велись в Древней Греции, и именно в таких спорах возникли геометрические рассуждения и доказательства. Фалес Милетский доказывал очень простые и очевидные на первый взгляд теоремы. Он осознал, что очевидность может оказаться обманчивой и доказывать нужно даже очевидные утверждения. Это было очень важным шагом в становлении математики.

Древнегреческие математики не только обосновали правила вычисления площадей, применявшиеся в Древнем Египте и Вавилонии, но и продвинулись далеко вперед. Для вычисления площади круга и объема пирамиды Eвдокс Книдский разработал специальный метод, впоследствии получивший название метода исчерпывания. Труды самого Евдокса не сохранились, но его результаты детально изложены в «Началах» Евклида. Значительная часть «Начал» посвящена стереометрии; они завершаются теорией правильных многогранников.

Архимед (287-212 гг. до н. э.) первым вычислил объем шара, доказав, что объем цилиндра, описанного вокруг шара, в 1,5 раза больше объема шара. Архимед считал это одним из важнейших своих достижений и даже завещал установить на его надгробии цилиндр и шар; по этому знаку впоследствии Цицерон нашел на Сицилии заброшенную и заросшую терновником могилу Архимеда. Архимед сумел также найти площадь и объем нескольких сложных геометрических фигур, и эти результаты очень долго оставались непревзойденными.

Архимед получил весьма точные оценки числа π, рассматривая правильные многоугольники, вписанные в окружность, и правильные многоугольники, описанные около окружности. Он доказал, что 3(10/71) < π < 3(1/7).

Несколько изящных геометрических теорем Архимед собрал в «Книгу лемм», сохранившуюся только в арабском переводе. Еще несколько теорем Архимеда сохранилось в изложении аль-Бируни (973-1048). Когда были обнаружены и переведены сочинения аль-Бируни, выяснилось, что задолго до Герона Архимед вывел формулу, выражающую площадь треугольника через длины его сторон; ныне ее называют формулой Герона.

Архимед обнаружил 13 полуправильных многогранников, грани которых правильные многоугольники, но необязательно равные. Четырнадцатый полуправильный многогранник был обнаружен лишь в 1957 г. советским математиком В, Г. Ашкинузи.

Древний Рим, многое перенявший из культурного наследия Древней Греции, оказался совершенно невосприимчивым к математике. Геометрия там не только не развивалась, но даже почти не изучалась. По свидетельству Цицерона, в Древнем Риме развитие математики ограничивалось надобностями денежных расчетов и земельных межеваний. Но уже сами эти слова Цицерона показывают, что говорить в такой ситуации о развитии математики – сильное преувеличение.

Греческие традиции изучения геометрии в большей степени, чем в средневековой Европе, распространились в арабских странах. Многие труды греческих геометров сохранились лишь в арабских переводах. Арабские математики не только переводили и комментировали сочинения древнегреческих геометров, но и сами получали важные результаты. Исследованием пятого постулата Евклида занимались Сабит ибн Курра (836-901) и Омар Хайям. Аль-Каши с большой точностью вычислил число π. Абу-ль-Вафа изучал задачи на построение циркулем фиксированного раствора.

Независимо от Древней Греции геометрия развивалась в Китае и в Индии. В Китае в первые века нашей эры умели вычислять площадь круга, объем цилиндра, усеченного конуса и усеченной пирамиды. Индийский математик Брахмагупта (598-660) детально изучил свойства вписанных четырехугольников.

Возрождение математики в Европе началось с изучения трудов древнегреческих математиков и с переводов их на латинский язык, Первым важным достижением европейских математиков в геометрии было введение координат на плоскости французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665). Метод координат позволил связать геометрию с алгеброй. Интересно, что для Декарта основным стимулом для введения координат послужила следующая задача, предложенная древнегреческими геометрами: найти множество всех точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных прямых равно произведению расстояний до двух других данных прямых. Ферма тоже внимательно изучал труды древнегреческих математиков, делая на полях замечания о своих обобщениях их результатов. Идея ввести координаты не только на плоскости, но и в пространстве встречается уже у Декарта и Ферма, но разработал эту идею и применил на практике французский математик и физик Алексис Клод Клеро, много занимавшийся вопросом о том, какую форму имеет Земля – сколь существенно отличается она от шара.

Декарт занимался также исследованием выпуклых многогранников. Он установил в 1620 г., что число вершин V, число ребер E и число граней F связаны соотношением V – E + F = 2, но не опубликовал этот результат. В 1758 г. эту формулу переоткрыл Эйлер, и теперь ее обычно называют формулой Эйлера.

Геометрия была настолько важной составляющей частью математики, что в XIX в. всех математиков, даже занимавшихся в основном алгеброй или анализом, называли геометрами, Понятие вектора в математику и физику ввел ирландский математик Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865), но некоторое представление о векторах задолго до него имели Галилей и Ньютон. Гамильтон определял векторы с помощью координат. Такой подход позволил рассматривать векторы не только с двумя или тремя координатами, но и с любым числом координат. Так Гамильтон смог ввести понятие n-мерного пространства, в котором векторы имеют n координат. Одновременно с Гамильтоном понятие многомерного пространства ввел немецкий математик Герман Грассман (1809-1877). Подход Грассмана был более абстрактный и сначала воспринимался математиками с большим трудом, но впоследствии этот подход оказался очень плодотворным и нашел широкое применение не только в геометрии, но и в алгебре.

В 1854 г. немецкий математик Бернхард Риман обобщил понятие многомерного пространства и разработанную К. Р. Гауссом теорию поверхностей. Введенные им пространства, получившие название римановых, широко применяются в современной физике. Именно в терминах римановых пространств формулируется общая теория относительности Эйнштейна.

Большую роль в формировании современного представления о геометрии сыграла так называемая эрлангенская программа немецкого математика Феликса Клейна (1849-1925). В ней Клейн предложил систематизацию геометрии на основе движений. По мнению Клейна, важнейшая задача геометрии – изучение свойств, сохраняющихся при движениях. Под геометрией Клейн подразумевал не только евклидову геометрию, но и другие геометрии – геометрию Лобачевского, геометрию на сфере, проективную геометрию.

Не следует думать, что к настоящему времени развитие геометрии завершено, что все, что можно, в ней открыто и обосновано. Геометрия, как и другие науки, успешно развивается и обогащается новыми крупными результатами, расширяет сферу своих приложений и находит все новых и новых приверженцев.

Математика: