Равносоставленные многоугольники

Если один многоугольник разрезан на части и из них составлен другой многоугольник (так, что внутренние области любых двух частей не имеют общих точек), то исходный и полученный многоугольники называются равносоставленными. Например, квадрат со стороной 1 и равнобедренный прямоугольный треугольни с основанием 2 являются равносоставлеными (рис. 76).

Треугольник, равносоставленный квадрату

Приведем еще два примера равносоставленных многоугольников.

Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рисунке 77, а. Он составлен из двух прямоугольных треугольников с катетами a и b. Из таких же двух треугольников составлен прямоугольник, смежные стороны которого равны a и b (рис. 77, б). Следовательно, указанные четырехугольник и прямоугольник равносоставлены.

Равносоставленный прямоугольник

Обратимся теперь к рисунку 78, а, на котором окружность радиуса r с центром O вписана в треугольник ABC и равные отрезки касательных обозначены буквами x, y и z. Треугольник ABC составлен из шести попарно равных прямоугольных треугольников с катетами x и r, y и r, z и r. Из таких же треугольников составлен прямоугольник, смежные стороны которого равны r и x + y + z (рис. 78, б). Следовательно, треугольник ABC и указанный прямоугольник равносоставлены.

Треугольник и равносоставленный прямоугольник

Поскольку

AB + BC + CA = (x + y) + (y + z) + (z + x) = 2(x + y + z),

то сумма x + y + z равна половине периметра треугольника ABC. Таким образом,

  • треугольник равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая — радиусу вписанной в него окружности.
Математика: