Уравнение прямой

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Выведем уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0; y0) перпендикулярно к нулевому вектору {a; b} (рис. 52).

Если точка M (x; y), отличная от точки M0, лежит на данной прямой, то вектор {x – x0; y – y0} перпендикулярен к вектору {a; b}, поэтому в соответствии с формулой (7) п. 89 координаты точки M удовлетворяют уравнению

a (x – x0) + b (y – y0) = 0.     (9)

Прямая на координатной плоскости

Координаты точки M0 (x0; y0) также удовлетворяют этому уравнению. Таким образом, координаты всех точек данной прямой удовлетворяют уравнению (9). Если же точка M не лежит на указанной прямой, то векторы и не перпендикулярны, поэтому координаты точки M не удовлетворяют уравнению (9). Следовательно,

  • в прямоугольной системе координат Oxy уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0; y0) перпендикулярно к ненулевому вектору {a; b}, имеет вид a (x – x0) + b (y – y0) = 0.

Если b = 0 (при этом a ≠ 0, так как ), то уравнение (9) приводится к виду x – x0 = 0, или x = x0. Эта прямая параллельна оси Oy (рис. 53).

Если же b ≠ 0, то разделим обе части уравнения (9) на b и введем обозначения: k = –a/b, c = y0 + (ax0)/b. Тогда уравнение прямой примет вид

y = kx + c.

Число k называется угловым коэффициентом прямой в данной системе координат.

Сравнивая угловые коэффициенты двух прямых, можно ответить на вопрос: пересекаются эти прямые или параллельны? Ответ содержится в следующем утверждении:

  • если угловые коэффициенты двух прямых различны, то эти прямые пересекаются, а если одинаковы, то прямые параллельны.

Пусть прямые заданы уравнениями

y = k1x + c1, y = k2x + c2.

Если k1 ≠ k2, то, решив систему уравнений

Найденные числа x и y удовлетворяют каждому из уравнений (10). Это означает, что точка M (x; y), координаты которой равны этим числам, лежит на каждой из данных прямых, т. е. прямые пересекаются в точке M.

Если же k1 = k2, то c1 ≠ c2 (в противном случае прямые совпадают), и, следовательно, система (10) не имеет решений. Это означает, что данные прямые не имеют общих точек, т. е. они параллельны.

Выведем теперь уравнение прямой, проходящей через две данные точки: M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) (рис. 54).

Ненулевой вектор имеет координаты {x2 – x1; y2 – y1}, поэтому ненулевой вектор {(y2 – y1); –(x2 – x1)} перпендикулярен к вектору (см. п. 89, с. 27).

Так как прямая M1M2 проходит через точку M1 и перпендикулярна к вектору {(y2 – y1); –(x2 – x1)}, то, согласно (9), ее уравнение имеет вид

(y2 – y1) (x – x2) – (x2 – x1) (y – y1) = 0.