Уравнение окружности

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана какая-нибудь линия L (рис. 50). Равенство, содержащее координаты точек, называется уравнением линии L в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M (x; y) линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L.

Линия и окружность на координатной плоскости

Выведем уравнение окружности радиуса r с центром M0 (x0; y0) в заданной прямоугольной системе координат Oxy (рис. 51).

Расстояние от точки M (x; y) до точки M0 равно

Если точка M лежит на рассматриваемой окружности, то M0M = r, или, что то же самое, M0M2 = r2. Следовательно, координаты точки M в этом случае удовлетворяют уравнению

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2.      (8)

Если же точка M не лежит на данной окружности, то M0M2 ≠ r2, поэтому координаты точки M не удовлетворяют уравнению (8). Итак,

  • в прямоугольной системе координат Oxy уравнение окружности радиуса r с центром в точке M0 (x0; y0) имеет вид

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2.