Координаты вектора

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются числа, равные разностям соответствующих координат его конца и начала. Координаты x и y вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: {x; y}; при этом говорят, что вектор имеет координаты {x; y}. Таким образом, если точки A (x1; y1) и B (x2; y2) — начало и конец вектора, то вектор имеет координаты {x2 – x1; y2 – y1}.

Докажем теорему о координатах равных векторов.

Теорема. Координаты равных векторов соответственно равны; обратно, если координаты векторов соответственно равны, то эти векторы равны.

Доказательство. Пусть начала и концы векторов и имеют следующие координаты: A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3), D (x4; y4) (рис. 44). Тогда векторы и имеют координаты {x2 – x1; y2 – y1} и {x4 – x3; y4 – y3}.

Если = , то середины отрезков AD и BC совпадают, поэтому координаты этих середин соответственно равны:

(x1 + x4) / 2 = (x2 + x3) / 2,      (y1 + y4) / 2 = (y2 + y3) / 2,      (1)

откуда получаем

x2 – x1 = x4 – x3,      y2 – y1 = y4 – y3,      (2)

т. е. координаты векторов и соответственно равны.

Обратно, если координаты векторов и соответственно равны, т. е. выполнены равенства (2), то выполняются и равенства (1), и, следовательно, середины отрезков AD и BC совпадают. Это означает, что = . Теорема доказана.

Если точка M — начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки M (рис. 45). Докажем, что

  • от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Пусть {x1; y1} – данный вектор, M (x2; y2) — данная точка. Рассмотрим вектор с концом N (x1 + x2; y1 + y2). Координаты вектора равны {x1; y1}, и, следовательно, = . Таким образом, от точки M можно отложить вектор, равный данному вектору .

Докажем теперь, что такой вектор только один. Пусть 1 — вектор с концом N1 (x; y), равный вектору . Из равенства 1 = следует, что

x – x2 = x1, y – y2 = y1,

откуда

x = x1 + x2, y = y1 + y2,

и, следовательно, точка N1 совпадает с точкой N. Итак, от точки M можно отложить только один вектор, равный вектору .
Замечание. Равные векторы, отложенные от разных точек, иногда обозначают одной и той же буквой и говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

Математика: