Координаты вектора

(x1 + x4) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y1 + y4) / 2 = (y2 + y3) / 2, (1)

откуда получаем

x2 – x1 = x4 – x3, y2 – y1 = y4 – y3, (2)

т. е. координаты векторов и соответственно равны.

Обратно, если координаты векторов и соответственно равны, т. е. выполнены равенства (2), то выполняются и равенства (1), и, следовательно, середины отрезков AD и BC совпадают. Это означает, что = . Теорема доказана.

Если точка M — начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки M (рис. 45). Докажем, что

  • от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Пусть {x1; y1} – данный вектор, M (x2; y2) — данная точка. Рассмотрим вектор с концом N (x1 + x2; y1 + y2). Координаты вектора равны {x1; y1}, и, следовательно, = . Таким образом, от точки M можно отложить вектор, равный данному вектору .

Докажем теперь, что такой вектор только один. Пусть 1 — вектор с концом N1 (x; y), равный вектору . Из равенства 1 = следует, что

x – x2 = x1, y – y2 = y1,

откуда

x = x1 + x2, y = y1 + y2,

и, следовательно, точка N1 совпадает с точкой N. Итак, от точки M можно отложить только один вектор, равный вектору .
Замечание. Равные векторы, отложенные от разных точек, иногда обозначают одной и той же буквой и говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *