Прямоугольная система координат

Если проведены две взаимно перпендикулярные оси координат Ox и Oy с общим началом O (рис. 37) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат. Оси Ox и Oy называются соответственно осью абсцисс и осью ординат, а точка O — началом координат. Система координат обозначается как: Oxy.

Система координат

Пусть M — произвольная точка. Проведем через нее прямые, перпендикулярные к осям координат и пересекающие оси Ox и Oy в точках M1 и M2 соответственно (рис. 38). Абсциссой точки M называется координата точки M1 на оси Ox, а ординатой точки M — координата точки M2 на оси Oy. Абсцисса и ордината точки M называются координатами этой точки в системе координат Oxy. Точку M с координатами x и y условимся обозначать так: M(x; y).

Середина отрезка в системе координат

Докажем, что

  • каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов этого отрезка.

Пусть M(x; y) — середина отрезка с концами A(x1; y1) и B(x2; y2) (рис. 39). Требуется доказать, что x = (x1 + x2) / 2 и y = (y1 + y2) / 2.

Проведем через точки A, B и M прямые a, b и m, перпендикулярные к оси Ox и пересекающие ее соответственно в точках A1(x1; 0), B1(x2; 0) и M1(x; 0).

Если точки A и B не лежат на прямой m, то прямые a, b и m параллельны, так как они перпендикулярны к одной и той же прямой. Поскольку AM = MB, то A1M1 = M1B1 (докажите это, пользуясь теоремой Фалеса), т. е. точка M1 — середина отрезка A1B1. Поэтому (см. п. 84)

x = (x1 + x2) / 2.

Это равенство верно и тогда, когда точки A и B лежат на прямой m (в этом случае x1 = x2 = x). Справедливость равенства

y = (y1 + y2) / 2

доказывается аналогично.

Прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат в честь Рене Декарта, использовавшего метод координат для решения геометрических задач.

Математика: