О длине окружности

В пункте 110 мы сказали, что точное значение длины окружности – это предел, к которому стремится периметр Pn правильного вписанного в окружность 2n-угольника при неограниченном увеличении числа n. Уточним, что имелось в виду.

Рассмотрим сначала квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Проведя серединные перпендикуляры к его сторонам и отметив точки их пересечения с описанной окружностью, построим правильный вписанный восьмиугольник (рис. 122). Его периметр больше периметра квадрата (пользуясь неравенством треугольника, докажите это самостоятельно). Удвоив таким же образом число сторон, получим правильный вписанный шестнадцатиугольник, периметр которого больше периметра восьмиугольника. Продолжив этот процесс, составим возрастающую последовательность Pn периметров правильных вписанных в данную окружность 2n-угольников (n = 2, 3, 4, ...); P2 < P3 < P4 < … .

Рассмотрим теперь квадрат, описанный около той же окружности. Проведем биссектрисы его углов и через точки их пересечения с данной окружностью проведем касательные к окружности. Отрезав по этим касательным от квадрата прямоугольные треугольники, получим правильный описанный восьмиугольник (рис. 123), периметр которого, очевидно, меньше периметра описанного квадрата. Удвоив указанным способом число сторон, получим правильный описанный шестнадцатиугольник, периметр которого меньше периметра описанного восьмиугольника. Продолжив этот процесс, составим убывающую последовательность Qn периметров правильных описанных около данной окружности 2n-угольников (n = 2, 3, 4, …): Q2 > Q3 > Q4 > … .

Отметим, что при любом n имеет место неравенство Pn < Qn, вытекающее, например, из подобия любых двух правильных 2n-угольников. Следовательно, при любом n справедливо неравенство Pn < Q2 (так как Pn < Qn < Q2).

На произвольном луче с началом O отложим отрезки OA2 длины P2, OA3 длины P3, …, а также отрезок OB длины Q2. Множество точек O, A2, A3, … ограничено — все они содержатся в отрезке OB. Следовательно, существует наименьший отрезок OC, содержащий все эти точки. Длина отрезка OC и принимается за длину окружности.

Так как последовательность длин отрезков OA2, OA3, …, OAn, … (т. е. последовательность P2, P3, …, Pn, …) возрастающая, то последовательность длин отрезков A2C, A3C, …, AnC, … - убывающая, а поскольку OC — наименьший из отрезков, содержащих в себе точки O, A2, A3, …, то длина отрезка AnC при возрастании n становится сколь угодно малой. Иными словами, величина AnC стремится к O при n, стремящемся к бесконечности. Следовательно, OAn = Pn → OC при n → ∞. Это и означает, что точное значение длины окружности — это предел, к которому стремится периметр Pn правильного вписанного в окружность 2n-угольника при неограниченном увеличении числа n.

Замечание 1. Так как Pn = 2n * 2R sin (180º/2n) → 2πR при n → ∞, то

sin (180º/2n) = Pn/(2R * 2n) → 0 при n → ∞.

Замечание 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1, и острым углом, равным α. Его катеты равны cos α и sin α. Из неравенства треугольников следует, что cos α + sin α > 1, поэтому cos α > 1 – sin α. В частности, при α = 180º/2n получаем: cos (180º/2n) > 1 – sin (180º/2n). Отсюда с учетом замечания 1 следует, что

cos (180º/2n) → 1 при n → ∞.

Математика: