Длина окружности

Интуитивно каждый из нас представляет, что такое длина окружности. Например, если окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити, то, разрезав нить в какой-нибудь ее точке и распрямив ее, мы получим отрезок, длина которого равна длине окружности.

А как измерить длину окружности? Если окружность достаточно велика (например, окружность цирковой арены, радиус которой равен 6,5 м), то ее длину можно приближенно измерить шагами. Заметим, однако, что при этом измеряется не сама длина окружности, а периметр вписанного в нее правильного многоугольника. Таким образом, периметр правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Это приближение тем точнее, чем больше число сторон многоугольника, так как многоугольник при увеличении числа сторон располагается все ближе и ближе к окружности (рис. 89).

Периметр вписанного многоугольника приближается к длине окружности с увеличением его сторон

Воспользуемся этим наблюдением. Рассмотрим квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Проведя серединные перпендикуляры к его сторонам и отметив точки их пересечения с описанной окружностью, построим правильный вписанный восьмиугольник (см. рис. 89). Удвоив таким же способом число сторон, получим правильный вписанный шестнадцатиугольник. Продолжив этот процесс, составим последовательность Pn периметров правильных вписанных в данную окружность 2n-угольников (n = 2, 3, 4 …). Каждый член этой последовательности является приближенным значением длины окружности, причем чем больше n, тем точнее приближение.

Можно сказать, что периметр Pn правильного вписанного в окружность 2n-угольника стремится к точному значению C длины этой окружности при n → ∞. Иными словами, точное значение длины окружности — это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность 2n-угольника при неограниченном увеличении числа n.

Выведем формулу, выражающую длину окружности через ее радиус. Пусть C и C' — длины окружностей радиусов R и R'. Впишем в каждую из этих окружностей по правильному 2n-угольнику и обозначим через P и P' их периметры. Используя формулу (1), получаем:

Pn = 2n * 2R sin (180º/2n),      Pn' = 2n * 2R' sin (180º/2n).

Следовательно, при любом n

Pn/Pn' = 2R / 2R'.     (7)

Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Pn → C, Pn' → C' при n → ∞. Поэтому, согласно равенству (7), C/C' = (2R) / (2R'), или C/(2R) = C'/(2R'), т. е.

  • отношение длины окружности к ее диаметру — одно и то же число для всех окружностей.

Немецкий математик И. Г. Ламберт (1728 — 1777) и французский математик А. М. Лежандр (1752 — 1833) доказали (см. [8]), что это число приближенно равное 3,14 (более точное значение равно 3,1415927), является иррациональным. Его обозначают греческой буквой π (читается «пи») - первой буквой слова περιφερεια (окружность).

длина окружности

Из равенства C/(2R) = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R:

С = 2πR.

Выведем теперь формулу длины l дуги окружности с градусной мерой α градусов. Поскольку длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1º равна (2πR)/360 = (πR)/180. Следовательно, длина l выражается формулой

l = ((πR) / 180) * α.

Замечание. Периметр Qn правильного 2n-угольника, описанного около окружности радиуса R, связан с периметром Pn правильного вписанного в эту окружность 2n-угольника равенством вида (4):

Pn = Qn cos (180º / 2n).

Если n → ∞, то Pn → 2πR, а cos (180º/2n) → 1 (см. с. 123, 124). Из этого следует, что Qn → 2πR пр n → ∞. Таким образом, предел, к которому стремится периметр правильного описанного около окружности 2n-угольника при неограниченном увеличении числа n, также равен длине окружности.