Площадь круга

Выведем формулу площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный 2n-угольник, описанный около окружности, ограничивающей круг (рис. 90, а), и правильный 2n-угольник, вписанный в эту окружность (рис. 90, б). Их площади Sоп и Sвп выражаются формулами вида (5) и (6):

Sоп = ½ QnR,
Sвп = ½ QnR cos2 180º/2n,

где Qn — периметр описанного 2n-угольника.

Описанный и вписанный многоугольники

Площадь S данного круга больше площади Sвп, так как вписанный многоугольник содержится в данном круге. С другой стороны, площадь S данного круга меньше площади Sоп, так как этот круг содержится в описанном многоугольнике. Таким образом,

Sвп < S < Sоп,

т. е.
½ QnR cos2 180º/2n < S < ½ QnR.     (8)
Поскольку 180º/2n → 1 и Qn → 2πR при n → ∞, то как левая, так и правая часть неравенств (8) стремится к πR2. Следовательно, средняя часть равна πR2. Таким образом, площадь S круга радиуса R выражается формулой

S = πR2.

Сектором называется часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами (рис. 91). Поскольку сектор с дугой в 1º составляет 1/360 часть круга, то его площадь равна (πR2)/360, где R — радиус круга. Следовательно, площадь сектора с дугой α градусов равна ((πR2)/360) * α.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой (рис. 92). Если дуга меньше 180º, то площадь сегмента можно найти, вычитая из площади сектора площадь треугольника, сторонами которого являются хорда и два радиуса, ограничивающие сектор.

Сектор и сегмент
Замечание. В течение ряда веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название «задача о квадратуре круга»: построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. И лишь в 1882 г. немецкий математик К. Л. Линдеман (1852-1939) доказал, что такое построение невозможно.