Вписанная окружность

Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник называется описанным около окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения биссектрис треугольника ABC и проведем из этой точки перпендикуляры OD, OE и OF к сторонам AB, BC и CA (рис. 32, а). Докажем сначала, что окружность с центром O радиуса OD является вписанной в треугольник ABC.

Вписанная в треугольник окружность

Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC (п. 46), т. е. OD = OE = OF, то окружность с центром O радиуса OD проходит через точки D, E и F (рис. 32, б). Стороны треугольника ABC перпендикулярны к ее радиусам OD, OE и OF, поэтому они касаются этой окружности. Следовательно, окружность с центром O радиуса OD является вписанной в треугольник ABC.

Докажем теперь, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от сторон треугольника и, следовательно, совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника; радиус каждой окружности равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Таким образом, центры и радиусы этих окружностей совпадают, поэтому совпадают и сами окружности. Теорема доказана.