Теорема Фалеса

Воспользуемся утверждениями пунктов 59 и 60 для доказательства следующей теоремы.

Теорема. Если на одной из сторон угла от его вершины отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то они отсекут на второй стороне равные меду собой отрезки.

Доказательство. Рассмотрим угол с вершиной A, на стороне которого отложены равные друг другу отрезки AA1, A1A2, A2A3, A3A4, …, и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла в точках B1, B2, B3, B4, … (рис. 75). Докажем, что отрезки AB1, B1B2, B2B3, B3B4, … равны друг другу.

Прямая A1B1 проходит через середину A1 стороны AA2 треугольника AA2B2 параллельно его стороне A2B2, поэтому AB1 = B1B2. Прямая A2B2 проходит через середину A2 боковой стороны трапеции A1A3B3B1 параллельно ее основаниям, поэтому B1B2 = B2B3. Аналогично доказывается, что B2B3 = B3B4 и т. д. Следовательно, все отрезки AB1, B1B2, B2B3, B3B4, … равны друг другу. Теорема доказана.

Теорема Фалеса

По мнению некоторых ученых, эту теорему впервые открыл древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 до н. э.). Это мнение впервые было высказано много столетий спустя после его смерти. В то время древнегреческие философы и математики, раздумывая о том, как Фалес во время путешествия в Египет смог измерить высоту пирамиды, предположили, что ему для этого могла понадобиться такая теорема. И хотя единого мнения на этот счет нет, ее называют теоремой Фалеса.

Теорема Фалеса позволяет с помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок на n равных отрезков. В самом деле, пусть AB — данный отрезок. На произвольном луче с началом A, не лежащем на прямой AB, отложим последовательно n каких-нибудь равных друг другу отрезков AA1, A1A2, …, An-1An (рис. 76). Соединим точки An и B отрезком и проведем через точки A1, A2, …, An-1 прямые, параллельные AnB. По теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок AB на n равных отрезков.