Вопросы для повторения "Решение треугольников"

  1. Объясните, как измеряются отрезки. Что называется отношением двух отрезков? Как связано отношение двух отрезков с длинами этих отрезков?
  2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?
  3. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника? Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.
  4. Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника? Как связаны синус и косинус острого угла A с косинусом и синусом угла 90º – A?
  5. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.
  6. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Докажите справедливость этого тождества для острого угла.
  7. Какой отрезок называется средним геометрическим двух данных отрезков? Объясните, как с помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный среднему геометрическому двух данных отрезков.
  8. Какой отрезок называется средним арифметическим двух данных отрезков? Докажите, что среднее арифметическое двух неравных отрезков больше их среднего геометрического.
  9. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
  10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
  11. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников.
  12. Какой треугольник называется египетским?
  13. Объясните, что такое золотое сечение.
  14. Чему равно отношение двух отрезков, образующих золотое сечение?
  15. Объясните, как с помощью циркуля и линейки разделить данных отрезок на два отрезка, образующих золотое сечение.
  16. Докажите, что для любого угла α из промежутка 0º < α < 90º справедливы равенства sin α = 2 sin α/2 * cos α/2 и cos α = 2cos2 (α/2) – 1.
  17. Объясните, как определяются синус и косину угла α, если 90º ≤ α ≤ 180º. Как связаны синус и косинус α с синусом и косинусом 180º – α?
  18. Докажите справедливость основного тригонометрического тождества для произвольного значения α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º.
  19. Что называется тангенсом и котангенсом угла α?
  20. Докажите теорему: сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.
  21. Какое утверждение называется теоремой синусов? Докажите эту теорему.
  22. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
  23. * Докажите, что если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы.
  24. Докажите теорему, обратную теореме Пифагора, с помощью теоремы косинусов.
  25. Что означают слова «решение треугольника»?
  26. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе треугольника.
  27. * Докажите, что если каждый из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.
  28. * Опишите все случаи взаимного расположения двух окружностей.
  29. Дайте определение подобных треугольников. Что называется коэффициентом подобия треугольников?
  30. Докажите, что если два треугольника подобны, то углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника.
  31. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.
  32. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.
  33. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.
  34. Сформулируйте и докажите теорему о квадрате касательной.
  35. Объясните, как с помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок на два отрезка, пропорциональных данным отрезкам.
  36. Объясните, как, имея отрезки с длинами a, b и c, построить с помощью циркуля и линейки отрезок, длина которого равна ab/c.
  37. Объясните, в чем состоит метод подобия решения задач на построение. Приведите пример задачи на построение, решаемой методом подобия.
  38. * Объясните, как построить правильный n-угольник при n = 15, n = 10 и n = 5.