Дополнительные задачи "Многоугольники"

§ 13

67. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если три угла равны, а четвертый вдвое больше каждого из них.

68. Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике найдутся два соседних угла, сумма которых: а) не меньше 180º; б) не больше 180º.

69. Докажите, что в любом выпуклом n-угольнике при n ≥ 5: а) найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180º; б) найдется не более трех нетупых углов.

70. Сумма углов выпуклого 2n-угольника в k раз больше суммы углов выпуклого n-угольника, где k — натуральное число. Найдите k и n.

71. Существует ли многоугольник с 27 диагоналями?

72. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, является выпуклым.

73. Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника имеет наименьшее значение.

74. Докажите, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше суммы его диагоналей.

75. Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше полупериметра, но меньше периметра этого четырехугольника.

76. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центом O. Найдите сумму ∠AOD + ∠BOC.

77. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла AOB и пересекающиеся в точке C внутри этого угла. Докажите, что около четырехугольника ACBO можно описать окружность.

78.* Докажите, что если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна 180º, то около него можно описать окружность.

79.* Докажите, что если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

80. Найдите угол правильного восемнадцатиугольника.

81. Сколько сторон имеет правильных многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 72º; б) 60º?

82. Докажите, что диагонали AC и AD правильного пятиугольника ABCDE делят угол BAE на три равные части.

83. Диагонали A1A4 и A2A7 правильного десятиугольника A1A2...A10, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник A1A2M и MA4O равнобедренные.

84. Правильный десятиугольник A1A2...A10 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что A1A4 – A1A2 = R.

85. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите правильный треугольник; правильный восьмиугольник.

86. Около данной окружности опишите с помощью циркуля и линейки правильный шестиугольник; правильный восьмиугольник.

87.* Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

§ 14

88. В параллелограмме ABCD угол A равен 60º, отрезок BH — перпендикуляр, проведенный к прямой AD, причем AH = 5 см и DH = 3 см. Найдите периметр параллелограмма.

89. На отрезке AB отмечены точки H и K, а по разные стороны от прямой AB — точки C и D так, что AK = BH, CH ⊥ AB, DK ⊥ AB, CH = DK. Докажите, что четырехугольник ACBD — параллелограмм.

90. На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки E, F, G и H так, что AE = CG и BF = DH. Докажите, что четырехугольник EFGH — параллелограмм.

91. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к каждой из сторон выпуклого четырехугольника, не превосходит 180º, то этот четырехугольник — параллелограмм.

92. Докажите, что если противоположные углы выпуклого четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

93. В выпуклом четырехугольнике ABCD равные углы A и C не являются острыми, а AB = CD. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

94. Биссектриса угла параллелограмма делит одну из его сторон на отрезки, равные 2 см и 5 см. Найдите периметр этого параллелограмма.

95. Биссектрисы двух углов, прилежащих к одной из сторон параллелограмма, делят противоположную сторону на отрезки, равные 3 см, 5 см и 3 см. Найдите периметр параллелограмма.

96. Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 6 см, точка E — середина стороны AB. Найдите отрезки, на которые диагональ AC делится отрезком DE.

97. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что отрезок PQ проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что: а) BQ = PD; б) если BP = BQ, то PQ || BD.

98. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки M и N, а на стороне AB — точки P и Q так, что MN || AB, PN || AC и QM || BC. Докажите, что AP = BQ.

99. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке P так, что BO = OP. Докажите, что BP ⊥ AD.

100. Прямая, параллельная диагонали BD параллелограмма ABCD, пересекает стороны AB и AD в точках P и Q, а прямые BC и CD — в точках M и N. Докажите, что MP = NQ.

101. Через вершины A и C выпуклого четырехугольника ABCD проведены параллельные прямые, пересекающие стороны BC и AD в точках P и Q, а диагональ BD — в точках M и N. Докажите, что если BM = DN и MP = NQ, то AB = CD.

102. Диагональ четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причем BO = OD и AO > OC. Докажите, что ∠A < ∠C.

103. Четырехугольник ABCD — ромб. Докажите, что расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию между прямыми AD и BC.

104. Докажите, что если точка пересечения диагоналей параллелограмма равноудалена от его сторон, то этот параллелограмм — ромб.

105. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

106. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

107. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

108. На стороне AD ромба ABCD с тупым углом B отмечена точка H так, что BH ⊥ AD. Найдите угол A, если AC = 2BH.

109. Центром окружности, вписанной в четырехугольник, является точка пересечения его диагоналей. Докажите, что этот четырехугольник — ромб.

110.* Докажите, что трапеция — выпуклый четырехугольник.

111. Докажите, что, прикладывая друг к другу одинаковые плитки, имеющие форму произвольного четырехугольника, можно целиком покрыть любую часть плоскости.

112. Один из углов прямоугольной трапеции равен 150º, а одна из ее бобковых сторон равна 6 см. Найдите другую боковую сторону трапеции.

113. Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

114. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

115. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

116. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет и центр симметрии.

117.* Докажите, что: а) центр правильного 2n-угольника является его центром симметрии; б) любой правильный n-угольник имеет n осей симметрии.

118. Постройте параллелограмм: а) по стороне, диагонали и углу, противолежащему этой диагонали; б) по стороне, диагонали и углу, который эта диагональ составляет со стороной, смежной данной.
119. Постройте ромб по диагонали и углу, который образует другая диагональ со стороной.
120. Постройте ромб по острому углу и отрезку, длина которого равна расстоянию между прямыми, содержащими противоположные стороны ромба.
121. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и боковой стороне, не перпендикулярной к основаниям.
122. Постройте равнобедренную трапецию по острому углу, диагонали и перпендикуляру, проведенному из вершины острого угла к прямой, содержащей меньшее основание трапеции.
§ 15
123. Докажите, что а) средняя линия треугольника делит одну из его медиан пополам; б) медиана треугольника делит одну из его средних линий пополам.
124. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон равнобедренной трапеции, - ромб.
125. Точки A1 и B1 симметричны точкам A и B относительно середин сторон BC и CA треугольника ABC. Докажите, что точки A1 и B1 симметричны относительно точки C.
126. Через вершину B и середину медианы AA1 треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке D. Докажите, что AD = 1/3 AC.
127. Докажите, что если две замечательные точки треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний. Рассмотрите все возможные случаи.
128. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник AA1A2, сторона AA1 которого является медианой треугольника ABC, а две другие стороны соответственно равны двум другим медианам треугольника ABC и параллельны им. Сколько решений имеет задача?
129. Постройте треугольник по трем медианам.
130. Постройте прямоугольный треугольник по двум медианам, одна из которых проведена из вершины прямого угла.

Математика: