Дополнительные задачи "Параллельность"

§ 11

13. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = DE и ∠BAE = ∠CAE. Докажите, что DE || AC.

14. Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольника ABC пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что DE || AC.

15. В четырехугольнике ABCD стороны AB и BC, CD и DA равны. На стороне BC отмечена точка M так, что DM = MB. Докажите, что DM || AB.

16*. Даны прямые a и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то a || b.

17. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы не равны, то эти две прямые пересекаются.

18. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная AC и пересекающая сторону AB в точке E. Докажите, что треугольник ADE равнобедренный.

19. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. На стороне BC отмечены точки P и Q так, что OP || AB и OQ || AC. Докажите, что периметр треугольника OPQ равен BC.

20. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы соответственных углов параллельны.

21. Прямая, параллельная основанию BC равнобедренного треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

22. На рисунке 36 ∠A = 135º, ∠B = 85º и ∠C = 140º. Докажите, что AE || CD.

23. На рисунке 37 AE || CD, ∠A = 130º и ∠C = 140º. Докажите, что AB ⊥ BC.

24. Докажите, что если касательные, проведенные через концы хорды, параллельны, то эта хорда — диаметр окружности.

25. Точка C лежит на отрезке AB, а точки P и Q — по одну сторону от прямой AB, причем AP || BQ, AP = AC и BQ = BC. Докажите, что CP ⊥ CQ.

26. Через точку пересечения биссектрис BB1 и CC1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой BC и пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках P и Q. Докажите, что PQ = BP + CQ.

27. На сторонах AB и AC данного треугольника ABC постройте такие точки P и Q, что PQ = BP + CQ и PQ || BC.

28. На параллельных прямых a и b отмечены точки A и B, а на отрезке AB — точка C. Докажите, что сумма расстояний от точки C до прямых a и b равна расстоянию между прямыми a и b.

29. На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M, для которой MA = MB = MC = AC = 14 см. Найдите расстояние между прямой AB и прямой, проходящей через точку M параллельно AB.

30. Что представляет собой множество всех точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?

31. Прямые a и b параллельны. Что представляет собой множество середин всех отрезков AB, где A ∈ a, B ∈ b?

32. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри угла ABC и удаленных от прямой BC на данное расстояние?

33. Сторона AB треугольника ABC продолжена на отрезок BP, равный AB, а медиана AM — на отрезок MQ, равный AM. Докажите, что BC = PQ.

34. Даны пересекающиеся прямые a и b и отрезок PQ. На прямой a постройте точку, находящуюся на расстоянии PQ от прямой b. Сколько решений имеет эта задача?

35*. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.

36. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных параллельных прямых.

§ 12

37. Через точку M, лежащую внутри треугольника ABC, проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках D и E соответственно. При этом AD = DM и CE = EM. Докажите, что луч BM — биссектриса угла ABC.

38. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с периметром P и гипотенузой, равной a.

39. В равнобедренных треугольник вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки, равные 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника.

40. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке D. Докажите, что AD = p – BC, где p — полупериметр треугольника.

41. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

42. Отрезки AH, AM и AD — высота, медиана и биссектриса треугольника ABC, в котором AB ≠ AC. Докажите, что точка D лежит на отрезке HM.

Математика: