Вопросы и задачи "Подобные треугольники"

143. а) Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.
б) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC пропорциональны сторонам DE, EF и FD треугольника DEF, ∠C = 50º и ∠D = 70º. Найдите остальные углы треугольников.
в) На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что ∆ABM ~ ∆ABC. Найдите AB, если BM = 4 и CM = 5.
г) Диагональ AC разделяет трапецию ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 3 на два подобных треугольника. Найдите AC.

144. а) Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
б) Стороны EF, FD, DE треугольника EFD пропорциональны сторонам AB, BC и CA треугольника ABC и ∠A + ∠D = 110º. Найдите угол B.
в) На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены соответственно точки M и N так, что ∆AMN ~ ∆ABC. Найдите AN, если AM = 5 см, BM = 9 см и AC = 7 см.
г) Диагональ AC, равная 6 см, разделяет трапецию ABCD с боковыми сторонами AB = 4 см и CD = 6 см на два подобных треугольника. Найдите периметр трапеции.

145. а) Даны треугольники ABC и DEF, в которых ∠A = ∠D, ∠C = ∠F, EF = 14 см, DF = 20 см и BC = 21 см. Найдите AC.
б) Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P, а прямую DC — в точке Q, BP = 3 см, CP = 2 см и CQ = 3 см. Найдите периметр параллелограмма.
в) Продолжения сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке E, CE = 3 см, CD = 2 см и AD – BC = 2 см. Найдите основания трапеции.
г) Через точку M стороны AB треугольника ABC проведены прямые, параллельные AC и BC и пересекающие стороны BC и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что AL * BN = MN * ML.
д) Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q, а медиану AM — в точке R. Докажите, что PR = RQ.
е) Отрезки AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что AC * CB1 = BC * CA1.
ж) Отрезки BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC с острым углом A. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны, и найдите коэффициент их подобия.
з) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O, периметры треугольников OAD и OBC относятся как 4 : 1, сумма оснований AD и BC равна 10 см. Найдите AD и BC.
и) Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причем AO : OC = DO : OB. Докажите, что AD || BC.
к) Отрезки AM и A1M1 — медианы треугольников ABC и A1B1C1, в которых ∠B = ∠B1 и ∠BAM = ∠B1A1M1. Докажите, что ∆ABC ~ ∆A1B1C1.
л) Отрезки AD и BC — основания трапеции ABCD, AC2 = AD * BC. Докажите, что AB2 * AD = CD2 * BC.
м) Четырехугольник ABCD — выпуклый, а четырехугольник ABED — невыпуклый, ∠ABE = ∠CBD, ∠BAE = ∠BDC. Докажите, что ∆BCE ~ ∆ABD.

146. а) Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
б) Через вершину A параллелограмма ABCD со стороной AB = 3 см и периметром 14 см проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P, а прямую DC — в точке Q. Найдите CP, если DQ = 6 см.
в) Основание BC трапеции ABCD на 5 см меньше ее средней линии. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E, причем CD = 2CE. Найдите основания трапеции.
г) На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q, прямая PQ пересекает лучи BA и DC в точках M и N. Докажите, что AP * CN = AM * CQ.
д) В треугольник ABC вписан квадрат со стороной a так, что две его смежные вершины лежат на стороне AC, равной b, а две другие вершины — на сторонах AB и BC. Найдите высоту BH треугольника ABC.
е) Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что AH * HA1 = BH * HB1.
ж) Отрезки BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC с тупым углом A. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны, и найдите коэффициент их подобия.
з) Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Периметр треугольников OAD и OBC относятся как 5 : 3, AC = 24 см. Найдите AO и OC.
и) На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки P, Q, R и T так, что BP : BQ = DR : DT. Докажите, что PQ || RT.
к) Отрезки AD и A1D1 — биссектрисы треугольников ABC и A1B1C1, ∠A = ∠A1 и AB : AD = A1B1 : A1D1. Докажите, что ∆ABC ~ ∆A1B1C1.
л) На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D так, что AC2 = AB * AD. Докажите, что AB * CD2 = AD * BC2.
м) Точка M – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC. На сторонах AB и AC отмечены точки D и E так, что ∠BDM = ∠CME. Докажите, что ∆BDM ~ ∆MDE.

147. а) Хорды AB и CD пересекаются в точке M, AB = 15 см, AM = 3 см и CM = DM. Найдите CD.
б) Диаметр окружности с центром O, равный 20 см, пересекает хорду AB в точке M, AM = 3 см и MB = 12 см. Найдите OM.
в) Через точку C, лежащую на продолжении диаметра AB окружности за точку B, проведена прямая, касающаяся окружности в точке K. Найдите CK, если радиус окружности равен 2,5 см и BC = 4 см.
г) Через точку M, лежащую на продолжении общей хорды двух окружностей, проведены прямые, касающиеся этих окружностей в точках K и L. Докажите, что MK = ML.
д) Прямая AM пересекает окружность радиуса 4 дм в точках A и B, точка B лежит между A и M. Найдите расстояние от точки M до центра окружности, если AB = 25 см и MB = 2 дм.
е) На гипотенузе AC данного прямоугольного треугольника ABC постройте такую точку D, что AB2 = AD (AD + 2CD).
ж) Данный отрезок разделите в отношении 2 : 3 : 5.
з) Даны отрезки с длинами a и b. Постройте отрезок, равный a2/b.
и) Постройте треугольник ABC по углам A и B и медиане AM.
к) Даны угол и отрезок. Постройте треугольник ABC, в котором угол A равен данному углу, AB : AC = 2 : 5, а расстояние от точки пересечения медиан до вершины B равно длине данного отрезка.

148. а) Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, причем AM : MB = 1 : 2, CD = 18 см и CM = 6 см. Найдите AB.
б) На хорде AB окружности с центром O отмечена точка M. Известно, что AM = 5 см и MB = MO = 4 см. Найдите радиус окружности.
в) Дуга AB окружности радиуса √2 равна 60º. На продолжении хорды AB за точку B отмечена точка C так, что BC = AB, и через нее проведена прямая, касающаяся окружности в точке K. Найдите CK.
г) Через точку M, лежащую вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D. Докажите, что MA * MB = MC * MD.
д) Прямая LM пересекает окружность радиуса 8 см в точках K и L, точка L лежит между точками K и M. Расстояние от точки M до центра окружности равна 10 см и ML = 4 см. Найдите KL.
е) На стороне BC данного треугольника ABC с тупым углом A постройте такую точку M, что AC2 = CM * CB.
ж) Данный отрезок разделите в отношении 1 : 4 : 7.
з) Даны отрезки с длинами a и b. Постройте отрезок, равный ((a + b)/a)b.
и) Даны угол и отрезок. Постройте треугольник ABC, в котором угол A равен данному углу, AB : AC = 3 : 5 и биссектриса AD равна данному отрезку.
к) Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.