Вопросы и задачи "Теоремы синусов и косинусов"

137. а) Найдите синус и косинус углов в 120º, 135º и 150º.
б) Постройте тупой угол A, если sin A = ¾.
в) Докажите, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
г) Найдите тангенс и котангенс углов в 30º, 45º, 60º, 120º, 135º и 150º.
д) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AB = BC = a и ∠A = α.
е) Дан треугольник ABC, в котором ∠A = 80º, ∠B = 70º и AB = 9. Найдите угол C и приближенные значения AC и BC.
ж) Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4√3, ∠A = 50º и ∠C = 70º. Найдите AC.
з) Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если AB = BC, ∠A = 2α и AC = b.
и) Основание высоты AH треугольника ABC лежит на стороне BC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AB = 7, AC = 6 и AH = 3. Изменится ли ответ, если точка H лежит на продолжении стороны BC?
к) Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. Найдите BD : DC, если ∠A = α, ∠C = γ и ∠DAC = β.

138. а) Найдите cos α, если sin α = 3/5.
б) Постройте угол A, для которого cos A = –4/5.
в) Докажите, что котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
г) Найдите tg α и ctg α, если sin α = 3/5.
д) Основания трапеции равны m и n, а углы, прилежащие к основанию m, равны α и β. Найдите расстояние между прямыми, содержащими основания трапеции.
е) Дан треугольник ABC, в котором ∠A = 65º, ∠C = 55º и AC = 11. Найдите угол B и приближенные значения AB и BC.
ж) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если ∠A = 22º, ∠С = 8º и AC = 30 см.
з) Высота AH остроугольного треугольника ABC равна h, ∠A = α и ∠B = β. Найдите BC.
и) На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD, равны.
к) Биссектриса угла A пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M, BC = a, ∠B = 2β, ∠C = 2γ и β > γ. Найдите AM.

139. а) Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны 2, 3 и 4; 4, 5 и 6; 1, 2 и √3?
б) Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠B = 120º и AB = 2√7. Найдите медиану AM.

140. а) Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны 5, 6 и 7; 3, 4 и 6; √2, √3 и √5?
б) Найдите большую диагональ параллелограмма ABCD, если AD = 4, ∠A = 60º, а высота BH треугольника ABD равна √3.

141. а) Решите треугольник ABC, если BC = 7, AC = 10 и AB = 11.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5, 5 и 8.
в) Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а ее основания равны 30 см и 15 см. Найдите угол между продолжениями боковых сторон.
г) Отрезок CD — биссектриса треугольника ABC, в котором ∠C = 90º, AC = 21 и BC = 28. Найдите AD и BD.
д) Основание равнобедренного треугольника меньше его боковой стороны на 4,5 см, биссектриса делит боковую сторону в отношении 2 : 3. Найдите периметр этого треугольника.
е) Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что BD : AB = CD : AC.
ж) Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором AB = 2 и AC = 5. Прямая DE параллельна AB и пересекает прямую AC в точке E. Найти отношение AE : EC.
з) Биссектрисы AD и BE треугольника ABC пересекаются в точке O так, что AE : EC = 4 : 9, BC : BD = 11 : 4. Найдите отношение AO : OD.

142. а) Решите треугольник ABC, если ∠A = 79º, AB = 15 и AC = 11.
б) Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
в) Диагонали трапеции равны 5 см и 12 см, а ее основания равны 3 см и 10 см. Найдите угол между диагоналями.
г) Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором ∠C = 90º, AB = 15 см и AC = 12 см. Найдите BD и CD.
д) Биссектриса равнобедренного треугольника ABC с основанием AB делит боковую сторону BC на отрезки, равные 10 см и 15 см, считая от вершины C. Найдите периметр треугольника.
е) Отрезок AM — медиана треугольника ABC, в котором ∠MAB = β и ∠MAC = γ. Докажите, что sin β/sin B = sin γ/sin C.
ж) Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором AB = c и AC = b. Прямая DE параллельна AB и пересекает AC в точке E. Докажите, что AE = (bc)/(b + c).
з) Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр вписанной в него окружности, AB = 9 см, BC = 12 см и CA = 5 см. Найдите отношение AO : OD.