Вопросы и задачи "Косинус и синус острого угла"

131. а) Найдите отношение отрезков AB = 9 см и CD = 12 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в километрах?
б) Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1. Найдите A1B1, если AB = 8 мм, CD = 5 см и C1D1 = 2 дм.
в) Пропорциональны ли изображенные на рисунке 98: отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB, BC и CD отрезкам FH, EF и EG?
г) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, отрезки AB и AO пропорциональны отрезкам AD и AC. Найдите CD, если BC = 8 см.
д) Точки C и C1 лежат на отрезках AB и A1B1 соответственно, отрезки AC и BC пропорциональны отрезкам A1C1 и B1C1. Докажите, что AB * B1C1 = A1B1 * BC.
е) Начертите отрезок MN и постройте на нем такую точку K, что MK : KN = 4 : 3.

132. а) Найдите отношение отрезков AB = 6 см и CD = 1 дм. Изменится ли это отношение, если длину отрезка AB выразить в дециметрах, а длину отрезка CD — в сантиметрах?
б) Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1. Найдите C1D1, если AB = 3 дм, CD = 9 см и A1B1 = 4 м.
в) Пропорциональны ли изображения на рисунке 98: отрезки AB и BC отрезкам FH и GH; отрезки AC, BD и CD отрезкам EH, FH и EG?
г) Диагонали параллелограмма KLMN пересекаются в точке O, отрезки KL и KO пропорциональны отрезкам LM и KM. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см.
д) Точки C и C1 лежат на отрезках AB и A1B1 соответственно, отрезки AB и BC пропорциональны отрезкам A1B1 и B1C1. Докажите, что AC * B1C1 = A1C1 * BC.
е) Начертите отрезок PQ и постройте на нем такую точку R, что PQ : QR = 5 : 1.

133. а) Дан прямоугольник ABCD, в котором ∠ACB = α и AB = a. Найдите BD и AD.
б) Найдите значения синуса и косинуса для углов в 30º и 60º.
в) Найдите sin α, если cos α = √3/2.
г) Постройте угол, косинус которого равен 0,3.
д) Дан отрезок AB. Постройте отрезок, являющийся средним геометрическим отрезков AB и 2AB, и найдите его длину.
е) Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC. Докажите, что катет AC являтеся средним геометрическим гипотенузы AB и отрезка AH.
ж) Отрезок CD — высота треугольника ABC, причем ∠C = 90º, AD = 9 см и DB = 16 см. Найдите sin A и cos A.
з) На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечена точка E, а на катете AC — точка D так, что DE || BC. Найдите периметр треугольника ABC, если AE = 15 мм, BE = 20 мм и DE = DC.
и) Отрезок CD — высота треугольника ABC с прямым углом C. Докажите, что CD * AB = AC * BC.

134. а) Дан прямоугольник ABCD, в котором ∠BAC = α и AB = a. Найдите BD и AD.
б) Найдите sin 45º и cos 45º.
в) Найдите sin α, если cos α = ¼.
г) Постройте острый угол, синус которого равен 0,3.
д) Дан отрезок AB. Постройте отрезок, равный √5AB.
е) Через точку A проведена касательная к окружности с центром O, а из точки касания — перпендикуляр BH к прямой AO. Докажите, что радиус окружности является средним геометрическим отрезков AO и OH.
ж) Найдите угол A трапеции ABCD, если ∠С = ∠В = 90º, BC = 2, AD = 4 и CD = 2√3.
з) На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на катете AC — точка E так, что DE || BC. Найдите BC, если BD = DE, AE = 5 дм и EC = 4 дм.
и) Отрезки BM и AH — медиана и высота равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Докажите, что BC * AH = AC * BM.

135. а) Отрезок CH — высота треугольника ABC, в котором ∠С = 90º, AC = 6 см и BC = 8 см. Найдите AB, AH и HB.
б) Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 12 см, большая диагональ равна 13 см. Найдите боковые стороны трапеции.
в) Дана трапеция ABCD, в которой ∠C = ∠D = 90º, AB = 9 см, BD = 12 см и AD = 15 см. Найдите синус и косинус угла CBD.
г) Через вершину тупого угла равнобедренного трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями проведена прямая, перпендикулярная к основаниям и делящая большее из низ на два отрезка, меньший из которых равен 10 см. Найдите основания трапеции, если ее боковая сторона равна 26 см.
д) Отрезок BH — высота остроугольного треугольника ABC. Докажите, что BC2 = AB2 + AC2 – 2AC * AH.
е) Найдите углы треугольника, стороны которого равны √2, √2 и 2.
ж) Стороны a и b прямоугольника образуют золотое сечение, т. е. b : a = φ. Докажите, что если от этого прямоугольника отрезать квадрат со стороной b, то смежные стороны оставшегося прямоугольника будут также образовывать золотое сечение.

136. а) Отрезок CH — высота треугольника ABC с прямым углом C. Найдите BC, AH и CH, если AB = 20 см и AC = 16 см.
б) Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 18 см, а большая боковая сторона равна 15 см. Найдите диагонали трапеции.
в) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, если основания трапеции равны 3 и 6.
г) Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 + BC2 = AB2 + CD2.
д) Отрезок BH — высота треугольника ABC с тупым углом A. Докажите, что BC2 = AB2 + AC2 + 2AC * AH.
е) Найдите углы треугольника, стороны которого равны 1, √3 и 2.
ж) Стороны a и b прямоугольника образуют золотое сечение, т. е. b : a = φ. Докажите, что если к этому прямоугольнику пристроить квадрат со стороной a так, чтобы получился прямоугольник, то смежные стороны этого прямоугольника будут также образовывать золотое сечение.