Вопросы и задачи "Теорема Фалеса"

61. а) Точки A1, B1 и C1 — середины сторон треугольника ABC, в котором AB = 5 см, BC = 9 см и CA = 12 см. Найдите периметр треугольника A1B1C1.

б) Точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Докажите, что ΔAB1C1 = ∆BC1A1 = ∆CA1B1 = ∆A1B1C1.

в) Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AB, является средней линией треугольника ABC.

г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам данного треугольника содержат высоты треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

д) Точки P, Q, R и T на рисунке 85 — середины сторон четырехугольника ABCD. Докажите, что четырехугольник PQRT — параллелограмм.

е) Точки A, B и C — середины сторон неравнобедренного треугольника KLM, периметр треугольника ABC равен 4,5 см. Найдите стороны треугольника KLM, если они в сантиметрах выражаются целыми числами.

ж) Точки M и N — середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые MD и NB параллельны и разделяют отрезок AC на три равные части.

з) Используя задачу 61 ж), разделите данный отрезок (с помощью циркуля и линейки) на три равных отрезка.

62. а) Отрезок B1C1 — средняя линия треугольника ABC, периметр треугольника AB1C1 равен 7 см. Найдите периметр треугольника ABC.

б) Точки A1, B1 и C1 лежат на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC так, что A1B1 || AB, B1C1 || BC и AB1 = B1C. Докажите, что отрезки A1B1 и B1C1 — средние линии треугольника ABC.

в) Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой AD равно 5 см. Найдите AB.

г) Докажите, что медианы данного треугольника содержат медианы треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

д) Точки P, Q, R и T на рисунке 86 — середины сторон четырехугольника ABCD. Докажите, что четырехугольник PQRT — параллелограмм.

е) Стороны треугольника ABC в сантиметрах выражаются целыми числами, точки K, L и M — середины его сторон, периметр треугольника KLM равен 5 см. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

ж) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит отрезок BO в отношении 2 : 1, считая от точки B.

з) Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

63. а) Одно из оснований трапеции в три раза меньше другого, ее средняя линия равна 20 см. Найдите основания трапеции.

б) Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведен перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что отрезок AE равен средней линии трапеции.

в) Дана трапеция ABCD, в которой ∠A = 90º, ∠D = 45º, ∠ACD = 90º и AB = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции.

г) Один из углов равнобедренной трапеции равен 120º, меньшее основание и боковая сторона равны соответственно 7 см и 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

д) Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, угол между большей диагональю и меньшей боковой стороной равен 60º. Докажите, что меньшая диагональ равна средней линии трапеции.

е) Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

ж) На сторонах AD и BC прямоугольника ABCD отмечены соответственно точки K, L и M, N так, что AK = KL = LD и BM = MN = NC. Докажите, что прямые BK, ML и ND параллельны друг другу и разделяют отрезок AC на четыре равных отрезка.

64. а) Разность оснований трапеции равна 6 см, ее средняя линия равна 15 см. Найдите основание трапеции.

б) Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние между прямыми, содержащими основания, равно длине средней линии трапеции.

в) Дана трапеция ABCD, в которой ∠A = 90º, ∠D = 30º, ∠ACD = 90º и BC = 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

г) Один из углов равнобедренной трапеции равен 135º, большее основание и расстояние между прямыми, содержащими основания, равны соответственно 16 см и 6 см. Найдите среднюю линию трапеции.

д) Биссектриса прямого угла трапеции пересекает боковую сторону в ее середине. Докажите, что меньшая боковая сторона равна сумме оснований.

е) Основания трапеции равны a и b. Найдите длину отрезка, отсекаемого на средней линии трапеции ее диагоналями.

ж) На одной из сторон угла от его вершины отложены последовательно четыре равных отрезка и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Стороны угла отсекают на этих параллельных прямых четыре отрезка, наименьший из которых равен a. Найдите три других отрезка.

65. а) Медианы AA1 и CC1 треугольника ABC, в котором угол B равен 120º, пересекаются в точке G. Найдите BG, если AB = BC = 18 см.

б) Точка H — ортоцентр треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠B = 80º. Найдите угол ACH.

в) Постройте треугольник по стороне и медианам, проведенным к двум другим сторонам.

г) На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены их середины. Используя только линейку (и не используя циркуль), разделите отрезок BC пополам. (О построении с ограниченными возможностями можно почитать в книгах [5], [11], [12].)

66. а) Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, - параллелограмм.

б) Точка H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Докажите, что ∠ABH = ∠ACH.

в) Высоты AA1 и BB1 равнобедренного треугольника ABC, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке H. Докажите, что прямая HC — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

г) На рисунке 87 изображены окружность с диаметром AB и точка M, не лежащая на прямой AB. Перечертите этот рисунок в тетрадь и, используя только линейку (и не используя циркуль), проведите из точки M перпендикуляр к прямой AB.

Математика: