Вопросы и задачи "Параллелограмм и трапеция"

49. а) Диагонали параллелограмма ABCD, равные 5 см и 11 см, пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника BCO, если AD = 7 см.
б) Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше высоты CH треугольника ACD. Найдите углы этого параллелограмма.
в) Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма с неравными смежными сторонами параллельны.
г) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке E. Найдите EC, если AB = 5 см и AD = 7 см.
д) На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что AP = CQ. Докажите, что прямая AC делит отрезок PQ пополам.
е) На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что AP = CQ. Докажите, что BP = DQ.
ж) Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD перпендикулярно к BD, пересекает стороны AD и BC в точках P и Q. Докажите, что BP = BQ.
з) Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.
и) Даны три вершины параллелограмма. Постройте его четвертую вершину. Сколько решений имеет эта задача?

50. а) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, периметр треугольника CDO равен 18 см и AB = 6 см. Найдите AC + BD.
б) Найдите угол C параллелограмма ABCD, если ∠ADB = 90º и AB = 2AD.
в) Докажите, что биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.
г) Биссектриса одного из углов параллелограмма делит его сторону в отношении 2 : 1. Найдите большую сторону параллелограмма, если меньшая сторона равна 6 см.
д) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что ∠ADP = ∠CBQ. Докажите, что BQ = DP.
ж) Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках P и Q так, что BP = BQ. Докажите, что PQ ⊥ BD.
з) Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и диагонали.
и) Постройте параллелограмм ABCD по стороне AB и острому углу A так, чтобы расстояние от точки A до прямой CD было равно длине данного отрезка.

51. а) Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором ∠В = 110º, ∠CAB = 30º, ∠CAD = 40º и AB = CD. Докажите, что BC || AD.
б) Отрезки AB и CD — диаметры окружности с центром O, точки M и N — середины отрезков OC и OD. Докажите, что ∠MAN = ∠MBN.
в) На сторонах AB, BC и CA равнобедренного треугольника ABC с основанием BC отмечены точки L, M и N так, что середины отрезков MN и CL совпадают. Докажите, что ∠B = ∠MLN.
г) Точки A, B и C не лежат на одной прямой, средины отрезков AB и CD совпадают. Какая из ломаных — ABCDA или ACBDA — является параллелограммом?
д) На сторонах AB, BC и CA равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечены точки L, M и N так, что AL = LN = BM. Докажите, что MN = MC.
е) Точки M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, точка D лежит на прямой MN и AD || BC. Докажите, что AB || DN.
ж) На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка P, а вне параллелограмма — точка Q так, что отрезки BP и AQ имеют общую середину. Докажите, что отрезки CP и DQ имеют общую середину.

52. а) Все стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF равны и BF = CE. Докажите, что BC || EF.
б) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точки M и N — середины отрезков OA и OC. Докажите, что углы MBN и MDN равны.
в) На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отмечены точки L, M и N так, что середины отрезков MN и CL совпадают и ∠B = ∠MLN. Докажите, что AB = AC.
г) Точки A, B, C и D расположены так, что AB || CD и AC || BD. Какая из ломаных — ABCDA или ABDCA — является параллелограммом?
д) На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отмечены точки L, M и N так, что AN = NL = BM, BL = MN. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
е) На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки M и N, точка M — середина отрезка DN, AD = BN и AB = 2MN. Докажите, что BN = NC.
ж) На стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD отмечена точка P, а вне четырехугольника — точка Q. При этом отрезки BP и AQ, а также отрезки CP и DQ имеют общие середины. Докажите, что отрезки AC и BD имеют общую середину.

53. а) Докажите, что если точка пересечения диагоналей параллелограмма равноудалена от двух его соседних вершин, то этот параллелограмм — прямоугольник.
б) Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
в) Окружность, диаметром которой является диагональ AC параллелограмма ABCD, пересекает прямую BD в точках P и Q. Докажите, что четырехугольник APCQ — прямоугольник.
г) Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причем AO = OB, CO = OD и ∠ACB = ∠CAD. Докажите, что этот четырехугольник — прямоугольник.

54. а) Докажите, что если в параллелограмме ABCD углы ABC и BAC равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
б) Докажите, что около любого прямоугольника можно описать окружность.
в) На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что ∠BPD = ∠BQD = 90º. Докажите, что четырехугольник BPDQ — прямоугольник.
г) Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором ∠ADB = ∠CAD, ∠ACB = ∠CBD и AD = BC. Докажите, что этот четырехугольник — прямоугольник.

55. а) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если AB = BD.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если ∠B = 120º и BD = 5 см.
в) Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
г) Постройте ромб по двум диагоналям.

56. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что середины отрезков OA, OB, OC и OD являются вершинами ромба.
б) Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, - ромб.
в) Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
г) Постройте ромб по стороне и углу.

57. а) Прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются в точке M. Найдите угол M, если ∠A = 65º и ∠C = 115º.
б) Острый угол прямоугольной трапеции равен 45º, меньшее основание и меньшая боковая сторона равны 5 см. Найдите большее основание.
в) Докажите, что в равнобедренной трапеции: углы при каждом основании равны; диагонали равны.
г) Постройте равнобедренную трапецию по основанию, углу при этом основании и боковой стороне.
д) Боковая сторона равнобедренной трапеции равна меньшему основанию, угол между боковой стороной и диагональю равен 120º. Найдите углы трапеции.
е) Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 10 см, угол между меньшим основанием и меньшей диагональю равен острому углу трапеции. Найдите большее основание.
ж) Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
з) Постройте прямоугольную трапецию по меньшему основанию и боковым сторонам.
и) Докажите, что сумма боковых сторон трапеции больше разности ее большего и меньшего оснований.
к) При пересечении биссектрис углов трапеции образовался выпуклый четырехугольник. Докажите, что около него можно описать окружность.
л) Постройте равнобедренную трапецию по боковой стороне, большему основанию и отрезку, длина которого равна расстоянию между прямыми, содержащими основания.
м) Постройте равнобедренную трапецию по двум углам, на которые диагональ делит ее тупой угол, и отрезку, длина которого равна расстоянию между прямыми, содержащими основания трапеции.

58. а) Прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются в точке M. Найдите угол BCD, если ∠A = 35º и ∠M = 85º.
б) Острый угол прямоугольной трапеции равен 60º, большее основание и большая боковая сторона равны 30 см. Найдите меньшее основание.
в) Докажите, что трапеция является равнобедренной, если: углы при основании равны; диагонали трапеции равны.
г) Постройте равнобедренную трапецию по основанию, боковой стороне и диагонали.
д) Большее основание равнобедренной трапеции в два раза больше меньшего, а расстояние от середины большего основания до вершины тупого угла равно длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.
е) Диагональ прямоугольной трапеции перпендикулярна к боковой стороне, острый угол трапеции равен 45º, а е большее основание равно 14 см. Найдите меньшее основание.
ж) Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
з) Постройте прямоугольную трапецию по меньшей диагонали, большему основанию и большей боковой стороне.
и) Докажите, что сумма диагоналей трапеции больше суммы ее оснований.
к) Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке O, точка M — середина боковой стороны AB. Докажите, что MO || AD.
л) Постройте равнобедренную трапецию по диагонали, большему основанию и перпендикуляру, проведенному из вершины тупого угла к прямой, содержащей большее основание трапеции.
м) Постройте трапецию по четырем сторонам.

59. а) Даны точки A, B и M. Постройте точку, симметричную точке M относительно середины отрезка AB.
б) Имеет ли центр симметрии: угол; пара пересекающихся прямых?
в) Какие из следующих букв имеют центр симметрии: A, O, M, X, K?
г) Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?

60. а) Даны точки A, B и M. Постройте точку, симметричную точке M относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB.
б) Сколько осей симметрии имеет: отрезок; прямая; луч?
в) Какие из следующих букв имеют ось симметрии: A, X, Г, E, O, F?
г) Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии этого треугольника.