Вопросы и задачи "Многоугольник"

43. а) Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором ∠ACB = ∠ADE, ∠ACD = ∠ADC и ∠BAC = ∠DAE. Докажите, что периметры четырехугольника ABCD и ACDE равны.
б) Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.
в) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 720º?
г) При каждой вершине выпуклого n-угольника взяты оба внешних угла. Найдите сумму этих углов.
д) Стороны AB и CD выпуклого шестиугольника ABCDEF равны и ∠BAD = ∠CDA. Сравните периметры пятиугольников ABDEF и ACDEF.
е) Сколько диагоналей имеет n-угольник?
ж) Можно ли выпуклый стоугольник разрезать на 97 треугольников?
з) Докажите, что разность сумм углов выпуклых n-угольника и (n – 1)-угольника не зависят от n.

44. а) Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором ∠ACB = ∠AEF, ∠ACE = ∠AEC и ∠BAC = ∠EAF. Докажите, что периметры пятиугольников ABCDE и ACDEF равны.
б) Найдите угол выпуклого двенадцатиугольника, все углы которого равны.
в) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 140º?
г) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый внешний угол которого равен 1º?
д) Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, его диагональ AC параллельна стороне ED. Сравните периметры четырехугольников EABC и DCBA.
е) Может ли многоугольник иметь 24 диагонали?
ж) На какое наименьшее число треугольников можно разрезать выпуклый 1000-угольник?
з) Сумма углов выпуклого n-угольника в k раз больше суммы углов выпуклого (n – 1)-угольника, где k — натуральное число. Найдите k.

45. а) Диагонали четырехугольника ABCD, в котором AB = AD и BC = CD, пересекаются в точке O. Сравните периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD.
б) Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 3, 4.
в) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD. Найдите углы A, D и ACB, если ∠B = 110º и ∠C = 130º.
г) Найдите сумму двух противоположных сторон описанного четырехугольника, если его периметр равен 60 см.

46. а) Диагональ AC невыпуклого четырехугольника ABCD, в котором AB = AD > BC = CD, разделяет его на два треугольника. Прямые AC и BD пересекаются в точке O. Сравните периметры пятиугольников BCODA и DCOBA.
б) Докажите, что хотя бы один из углов выпуклого четырехугольника, отличного от прямоугольника, - тупой.
в) Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что около четырехугольника A1HB1C можно описать окружность.
г) В четырехугольник ABCD вписана окружность радиуса r. Найдите сумму AD + BC, если ∠C = ∠D = 90º и ∠A = 30º.

47. а) Докажите, что угол правильного n-угольника равен ((n – 2)/n)180º.
б) Найдите сторону правильного шестиугольника A1A2A3A4A5A6, если A1A4 = 20 см.
в) Биссектрисы двух углов выпуклого многоугольника параллельны. Докажите, что этот многоугольник не является правильным.
г) С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите правильный шестиугольник.
д) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если дуга описанной около него окружности, которую стягивает его сторона, равна 5º?
е) Диагонали A1A6 и A2A9 правильного двенадцатиугольника A1A2...A12 пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники A1A2M и A6A9M равносторонние.
ж) Докажите, что периметр правильного 2n-угольника, описанного около окружности, меньше периметра правильного n-угольника, описанного около той же окружности.
з) С помощью циркуля и линейки около данной окружности опишите правильный четырехугольник.

48. а) Найдите углы правильного n-угольника, если n = 5; n = 10.
б) Восьмиугольник A1A2...A8 — правильный. Докажите, что четырехугольник A3A4A7A8 — прямоугольник.
в) Серединные перпендикуляры к двум сторонам многоугольника параллельны. Докажите, что этот многоугольник не является правильным.
г) С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите квадрат.
д) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен 3º?
е) Докажите, что диагональ A1A6 правильного двенадцатиугольника A1A2...A12 равна диаметру вписанной в него окружности.
ж) Докажите, что периметр правильного 2n-угольника, вписанного в окружность, больше периметра правильного n-угольника, вписанного в ту же окружность.
з) С помощью циркуля и линейки около данной окружности опишите правильный треугольник.

Математика: