Вопросы и задачи "Вписанная и описанная окружности"

9. а) Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O, причем CO = 10 см и ∠C = 60º. Найдите расстояние от точки O до прямой AC.
б) В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Найдите угол BOC, если ∠A = 2α.
в) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC, равные 6 см, 10 см и 14 см, касаются окружности в точках D, E и F. Найдите AD, DB, BE, EC, CF и FA.
г) На сторонах AB и AC треугольника ABC, описанного около окружности с центром O, отмечены точки D и E так, что OD || AC и OE || AB. Докажите, что AD = DO = OE = EA.

10. а) Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что луч AO — биссектриса угла BAC.
б) Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите угол ACO, если ∠AOB = 125º.
в) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с периметром 24 см и гипотенузой, равной 10 см.
г) Внутри треугольника ABC отмечена точка M, а на стороне BC — точки D и E так, что DM || AB, EM || AC, BD = DM и CE = EM. Докажите, что точка M равноудалена от сторон треугольника ABC.

11. а) Биссектриса угла A равнобедренного треугольника ABC с основанием BC пересекает серединный перпендикуляр к стороне AC в точке O. Найдите BO, если AO = 5 см.
б) Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 5 см.
в) Биссектриса угла A равнобедренного треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D. Найдите углы A, B и C, если ∠BDC = 70º.

12. а) Серединные перпендикуляры к сторонам равнобедренного треугольника пересекаются в точке O. Найдите расстояние от точки O до середины основания, если боковая сторона равна a, а один из углов треугольника равен 120º.
б) Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Докажите, что ∠A = 90º.
в) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AB = 14 см, ∠A = 3∠C и ∠B = 2∠C.
г) Докажите, что точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной около этого треугольника окружностью лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника.