Вопросы и задачи "Параллельные прямые"

1. а) Параллельны ли прямые a и b, изображенные на рисунке 26, если ∠3 = ∠5; ∠3 = ∠7; ∠3 + ∠6 = 180º; ∠3 = ∠6 = 90º? Ответ обоснуйте.
б) Вершины A и D равных треугольников ABC и BCD лежат по разные стороны от прямой BC, причем AC = BD. Докажите, что AB || CD.
в) Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противоположной основанию, параллельна основанию.
г) Исходя из рисунка 27, докажите, что BC || AD.
д) На стороне AB треугольника ABC отмечена точка M, равноудаленная от концов его биссектрисы AD. Докажите, что DM || AC.
е) Дуги AB и BC окружности равны. Докажите, что прямая AC параллельна касательной BD.

2. а) Параллельны ли прямые a и b, изображенные на рисунке 26, если: ∠1 = ∠7; ∠1 = ∠8 = 90º; ∠4 = ∠8; ∠2 + ∠7 = 180º? Ответ обоснуйте.
б) Вершины A и D равных треугольников ABC и BCD лежат по разные стороны от прямой BC, причем AC = BD. Докажите, что AC || BD.
в) Докажите, что если биссектриса внешнего угла с вершиной A треугольника ABC не параллельна стороне треугольника, то AB ≠ AC.
г) Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причем AO = OC и BO = OD. Докажите, что AD || DE.
д) Угол при основании BC равнобедренного треугольника ABC равен 72º, отрезки BD и DE — биссектрисы треугольников ABC и BCD. Докажите, что AB || DE.
е) Две хорды AB и CD окружности не имеют общих точек, а дуги AC и BD, заключенные между ними, равны (рис. 28). Докажите, что AB || CD.
3. а) Прямая a пересекает прямую, содержащую сторону AD прямоугольника ABCD. Пересекает ли прямая a прямую BC? Ответ обоснуйте.
б) На рисунке 29 углы 1, 3 и 4 равны. Докажите, что a || c.
в) Постройте прямую, проходящую через середину стороны AB треугольника ABC параллельно стороне BC.
г) Постройте касательную к данной окружности, параллельную данной прямой.

4. а) Точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC, внешний угол с вершиной B треугольника ABC равен 105º, а внешний угол с вершиной C треугольника DBC равен 75º. Прямая a пересекает прямую CD. Пересекает ли прямая a прямую AB? Ответ обоснуйте.
б) На рисунке 29 углы 3 и 4 равны, ∠2 + ∠3 = 180º. Докажите, что a || c.
в) Постройте прямую, проходящую через середину стороны AB треугольника ABC параллельно медиане AM.
г) Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярно к данной прямой. Сколько решений имеет эта задача?

5. а) Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в два раза больше другого. Найдите эти углы.
б) Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основанием AC проведена прямая AD, параллельная BC, точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите угол CAD, если внешний угол с вершиной B треугольника ABC равен 50º.
в) В четырехугольнике ABCD отрезок BD проходит через середину отрезка AC и AD || BC. Докажите, что AB = CD.
г) Через вершину C треугольника ABC, в котором ∠B = 30º и BC = 14 см, проведена прямая a, параллельная AB. Найдите расстояние от точки A до прямой a.
д) Отрезки AB и CD — хорды окружности, AB || CD. Докажите, что AC = BD.
е) Окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках P и Q, причем PQ || BC. Докажите, что AB = AC.

6. а) Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, больше другого на 34º. Найдите эти углы.
б) Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то этот треугольник равнобедренный.
в) На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка M, а на стороне BC — точка N так, что BN = NM и AB || MN. Докажите, что AM = MC.
г) Расстояние от вершины C треугольника ABC до прямой AB вдвое меньше BC. Через точку A проведена прямая a, параллельная BC. Найдите расстояние от точки C до прямой a, если AB = 10 см.
д) На окружности отмечены точки A, B, C, M и N так, что луч BM — биссектриса угла ABC, хорда MN параллельна AB. Докажите, что BC = MN.
е) Хорда AB окружности с центром O параллельна прямой, касающейся этой окружности в точке C. Докажите, что прямая OC — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

7. а) На рисунке 30 точки B и C равноудалены от прямой AD и AO = OD. Докажите, что AB = CD.
б) Из точки M, лежащей внутри угла, равного 72º, проведены перпендикуляры MP и MQ к сторонам угла. Найдите угол PMQ.
в) Постройте прямую, параллельную данной прямой, так, чтобы расстояние между этими прямыми было равно длине данного отрезка. Сколько решений имеет эта задача?
г) Даны точки A и B и отрезок PQ. Постройте точки, удаленных от прямой AB на расстояние PQ и равноудаленные от концов отрезка AB.
д) Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон.

8. а) На рисунке 30 точки B и C равноудалены от прямой AD и ∠OAD = ∠ODA. Докажите, что AC = BD.
б) Угол AOB равен 113º. Из точки M проведены перпендикуляры MP и MQ к прямым AO и BO. Найдите угол PMQ.
в) Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему углу.
г) Даны отрезок PQ и угол ABC, через вершину которого вне угла проведена прямая a. Внутри угла ABC постройте точку, удаленную от прямой a на расстояние PQ и равноудаленную от прямых AB и BC.
д) Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне.

Математика: