Задачи повышенной трудности "Решение треугольников"

246. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что CD3 = AB * AE * BF и AE2 + BF2 + 3CD2 = AB2.

247. Дан треугольник ABC. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых MB2 + AC2 = MC2 + AB2.

248. Докажите, что для всех хорд AB данной окружности величина AB2/AD, где AD — расстояние от точки A до прямой, касающейся окружности в точке B, имеет одно и то же значение.

249. Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов двух противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

250. Докажите, что произведение стороны треугольника на высоту, проведенную к ней, не зависит от того, какая из сторон выбрана.

251. Отрезок AM — медиана треугольника ABC. Докажите, что 4AM2 = AB2 + AC2 + 2 * AB * AC * cos A.

252. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике со сторонами a, b, c, d (последовательно), диагоналями m, n и углом α между ними справедливо равенство |a2 + c2 – b2 – d2| = 2mn|cos α|.

253. Точка H — ортоцентр треугольника ABC, R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Докажите, что AH = 2R|cos A|.

254. Точка M лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, точка H — ортоцентр этого треугольника, точка M1 симметрична точке M относительно прямой BC. Докажите, что: а) MN1 = AH; б) AN || HM1.

255. Из точки M, лежащей на описанной около треугольника ABC окружности, проведены прямые, перпендикулярные к AB и BC и пересекающие указанную окружность в точках L и N соответственно. Докажите, что а) LN = AC; б) CL || AN.

256. Точка M лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, точки M1, M2 и M3 симметричны точке M относительно прямых, содержащих стороны этого треугольника. Докажите, что точки M1, M2 и M3 лежат на прямой, проходящей через ортоцентр треугольника ABC.

257. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из произвольной точки M окружности, описанной около треугольника с ортоцентром H, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на прямой, проходящей через середину отрезка MH (прямая Симсона).

258. Докажите, что при α + β ≤ 180º имеют место тождества:
а) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
б) cos (α+ β) = cos α cos β – sin α sin β.

259. Докажите, что треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда сумма квадратов его сторон в 8 раз больше квадрата радиуса окружности, описанной около этого треугольника.

260. Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

261. Точка M лежит на окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Докажите, что одни из отрезков MA, MB и MC равен сумме двух других.

262. Углы A, B и C треугольника ABC связаны соотношениями ∠B = 2∠A и ∠C = 2∠B. Докажите, что 1/BC = 2/AB + 1/AC.

263. В треугольнике ABC (AB ≠ AC) через середину M стороны BC проведена прямая, параллельная биссектрисе угла A, которая пересекает прямые AB и AC соответственно в точках D и E. Докажите, что BD = CE.

264. Две окружности касаются друг друга изнутри в точке M. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке T. Докажите, что луч MT — биссектриса угла AMB.

265. Три окружности попарно касаются друг друга извне в точках A, B и C. Прямая AB пересекает в точке M прямую, проходящую через центры окружностей, касающихся в точке C. Докажите, что отрезок касательной (от точки M до точки касания) к окружности, проходящей через точки A и B, равен MC.

266. Углы треугольника ABC связаны равенством 3∠A + 2∠B = 180º. Докажите, что AB2 = BC2 + AB * AC.

267. Через точку M биссектрисы угла проведена прямая, отсекающая на его сторонах отрезки, равные a и b. Докажите, что величина 1/a + 1/b не зависит от выбора прямой.

268. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O. Докажите, что AD * BC = AO * OC + BO * OD.

269. Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой.

270. На стороне AB треугольника ABC отмечены точки E и F так, что точка E лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведенная через точку E лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведенная через точку E параллельно стороне AC, пересекает прямую, проведенную через точку F параллельно стороне BC, в точке K. Докажите, что точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведенной к стороне AB.

271. Диагонали BE и CE правильного пятиугольника ABCDE пересекают диагональ AD в точках F и G соответственно. Докажите, что FG : AF = AF : AG = AG : AD = φ, где φ - отношение золотого сечения.

272. Из точки M внутренней области острого угла AOB проведены перпендикуляры MP и MQ к прямым OA и OB, а из точек P и Q — перпендикуляры PR и QS соответственно к OB и OA. Докажите, что RS ⊥ OM.

273. Из середины D основания AC равнобедренного треугольника ABC проведен перпендикуляр DH к стороне BC, точка M — середина отрезка DH. Докажите, что BM ⊥ AH.

274. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Известно, что ∠ADP = ½∠PDC, ∠ADP = 2/3∠PAD и AD = BD = CD. Докажите, что AB2 = BP * BD.

275. Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и BC соответственно в точках M, N и P. Докажите, что отрезок AM является средним геометрическим отрезков MN и MP.

276. Две окружности пересекаются в точках A и B. Хорда AC второй окружности лежит на касательной к первой, а хорда BD первой окружности — на касательной ко второй. Докажите, что AB2 = AD * BC и BD2 : AC2 = AD : BC.

277. Через середину C хорды AB проведены хорды KL и MN, точки K и M лежат по одну сторону от прямой AB. Прямые AB и ML пересекаются в точке P, а прямые AB и KN — в точке Q. Докажите, что CP = CQ.

278. Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус r вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d2 = R2 – 2Rr (формула Эйлера).

279. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда: а) прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис; б) расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно среднему геометрическому радиуса вписанной и диаметра описанной окружностей; в) расстояние от точки пересечения продолжения одной из биссектрис с описанной окружностью до стороны, за которую эта биссектриса продолжена, равно радиусу вписанной окружности; г) одна из биссектрис делится центром вписанной окружности в отношении 2 : 1, считая от вершины.

280. Докажите, что если через вершины произвольного треугольника ABC провести лучи AB1, AC1, BA1, BC1, CA1, CB1, делящие каждый из его углов на три равные части так, как показано на рисунке 116, то точки A1, B1 и C1 окажутся вершинами равностороннего треугольника (теорема Морли).

281. Даны параллельные прямые a и b. На прямой a отмечены точки A, B, C, D (в указанном порядке), на прямой b — точки A1 и B1. Используя только линейку (и не используя циркуль), постройте на прямой b такой отрезок C1D1, что: а) AB : CD = A1B1 : C1D1; б) AB : CD = C1D1 : A1B1.

282. Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в n раз дальше, чем от другой (n = 2, 3, 4).

283. Точка C лежит на отрезке AB. Постройте точку D прямой AB, не лежащую на отрезке AB, так, чтобы AD/DB = AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?

284. Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведенной к основанию.

285. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведенной из их общей вершины.

286. Постройте треугольник ABC, если даны углы A, C и отрезок, равный сумме стороны AC и высоты BH.

287. В данную окружность впишите правильную пятиконечную звезду и найдите в ней все пары отрезков, образующих золотое сечение.

288. Постройте треугольник по трем высотам.