Задачи повышенной трудности "Многоугольники"

214. Сколько углов, меньших 10º, может иметь выпуклый многоугольник?

215. Пять углов выпуклого многоугольника равны 140º каждый, а остальные углы – острые. Найдите число сторон этого многоугольника.

216. Дан выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что A1A2 – A4A5 = A5A6 – A2A3 = A3A4 – A6A1.

217. Положительные числа a1, a2, a3, a4, a5 и a6 удовлетворяют условиям a1 – a4 = a5 – a2 = a3 – a6. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны, причем A1A2 = a1, A2A3 = a2, A3A4 = a3, A4A5 = a4, A5A6 = a5, A6A1 = a6 (при данной единице измерения отрезков).

218. Докажите, что: а) если в выпуклом четырехугольнике ABCD окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются диагонали AC в одной точке, то в этот четырехугольник можно вписать окружность; б) если в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, то окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются диагонали AC в одной точке.

219. Продолжения за точку D сторон AD и CD невыпуклого четырехугольника ABCD пересекают стороны BC и AB в точках A1 и C1. Докажите, что если в четырехугольник A1BC1D можно вписать окружность, то AB + CD = AD + BC, и обратно: если AB + CD = AD + BC, то в четырехугольник A1BC1D можно вписать окружность.

220. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Найдите его углы, если ∠ADP = ½ ∠PDC, ADP = 2/3 ∠PAD и AD = BD = CD.

221. Докажите, что сумма трех медиан треугольника меньше периметра, но больше трех четвертых периметра этого треугольника.

222. Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

223. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

224. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, ACNM, BAHK, а затем параллелограммы TCDQ и KBEP. Докажите, что треугольник APQ – прямоугольный и равнобедренный.

225. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = BC + AD.

226. Отрезок BD – медиана треугольника ABC, AB = 2BD. Докажите, что луч BC – биссектриса внешнего угла треугольника ABD.

227. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

228. Из вершины A треугольника ABC проведены перпендикуляры AH и AK к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах B и C. Докажите, что расстояние HK равно половине периметра треугольника ABC.

229. Отрезки AA1, BB1 и CC1 соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.

230. Середины трех высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник – прямоугольный.

231. Стороны AO и BO равностороннего треугольника ABO продолжены за точку O на равные друг другу отрезки OC и OD соответственно. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков OA, OD и BC, – равносторонний.

232. Докажите, что диагонали четырехугольника равны тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, взаимно перпендикулярны.

233. Докажите, что прямая, проходящая через середины основании равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.

234. Докажите, что в четырехугольнике, отличном от параллелограмма, три отрезка, два из которых соединяют середины противоположных сторон, а третий – середины диагоналей, имеют общую середину.

235. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон A1A2, A2A3 и A3A4 правильного пятиугольника A1A2A3A4A5. Докажите, что центр O пятиугольника и центр O1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой AC.

236. Докажите, что точки, симметричные центру описанной около треугольника окружности относительно прямых, содержащих средние линии, лежат на окружности Эйлера.

237. Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABH, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

238. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

239. Докажите, что середины сторон и основания высот треугольника, углы которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2, являются шестью вершинами правильного семиугольника.

240. Постройте прямоугольник по диагонали и отрезку, длина которого равна периметру прямоугольника.

241. Постройте ромб по стороне и отрезку, равному разности диагоналей.

242. Постройте квадрат по отрезку, равному сумме стороны и диагонали.

243. Постройте трапецию по боковой стороне, диагоналям и углу между ними.

244. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.

245. На каждой из сторон квадрата отметили по точке, а сами стороны стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите квадрат.