Задачи повышенной трудности "Параллельность"

198. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через эти точки проведены секущие MP и CD, не пересекающиеся внутри ни одной из окружностей (точки M и C лежат на одной окружности, а точки P и D – на другой). Докажите, что MC || PD.

199. Две окружности пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная к первой окружности, пересекающая вторую окружность в точке B, а через точку P – прямая, параллельная прямой AB и пересекающая вторую и первую окружности в точках C и D. Докажите, что AB = CD.

200. Две окружности пересекаются в точках M и P. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AM, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.

201. Две окружности имеют единственную общую точку. Через нее проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках A и A1, другую — в точках B и B1. Докажите, что AA1 || BB1.

202. Через точку A пересечения двух окружностей с центрами O1 и O2 проведена прямая, пересекающая одну из окружностей в точке B, а другую — в точке C. Докажите, что отрезок BC будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой O1O2.

203. Докажите, что из всех треугольников с данными вершинами A и B и данным расстоянием от третьей вершины до прямой AB наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник.

204. Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведенные прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что высоты этого треугольника содержат биссектрисы треугольника ABC.

205. Бильярдный стол имеет форму остроугольного треугольника ABC. Шар отражается от борта BC в точке A1, потом от борта CA в точке B1, затем от борта AB в точке С1, после чего вновь попадает в точку A1 и повторяет маршрут A1B1C1A1. Докажите, что точки A1, B1 и C1 — основания высот треугольника ABC.

206. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет эта задача.

207. Точки M и N – середины сторон AB и AC треугольника ABC. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на окружности, описанной около треугольника AMN.

208. Из вершины B треугольника ABC, в котором AB ≠ BC, проведены высота BH и биссектриса угла B, пересекающая описанную около треугольника окружность с центром O в точке E. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла OBH.

209. Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC. Касательная AE к окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке E. Докажите, что AE = DE.

210. Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке D, точка O – центр окружности, вписанной в треугольник. Докажите, что AD = OD.

211. Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжении двух других его сторон, называется вневписанной окружностью этого треугольника. Докажите, что: а) любой треугольник имеет три вневписанные окружности; б) прямая, проходящая через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, разделяет треугольник на два треугольника с равными периметрами; в) точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, равноудалены от середины этой стороны.

212. Постройте треугольник: а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной к данной стороне; б) по углу, высоте, проведенной из вершины этого угла, и отрезку, длина которого равна периметру искомого треугольника.

213. Постройте треугольник, если даны описанная окружность и на ней точки H, B и M, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведенные из одной вершины.