Дополнительные задачи "Решение треугольников"

§ 16

149. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то sin α > sin β, и обратно: если sin α > sin β, то α > β.

150. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то cos α < cos β, и обратно: если cos α < cos β, то α > β.

151. В трапеции ABCD основание AD равно 5, AB = 3, BD = 4, отрезок CM — перпендикуляр к прямой BD. Найдите синус угла BCM.

152. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечена точка M так, что BM : MA = 1 : √3. Основание перпендикуляра, проведенного из точки M к прямой BC, равноудалено от точек M и C. Найдите углы A и B.

153. Найдите синус острого угла ромба, диагонали которого равны 4 см и 3 см.

154. Докажите, что в произвольном треугольнике ABC имеет место неравенство BC ≥ (AB + AC) sin (A/2).

155. Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Докажите, что BH * AC2 = AH * BC2.

156. Правильный треугольник и правильный шестиугольник имеют общую сторону, равную a, и лежат по одну сторону от нее. Найдите расстояние между центрами этих многоугольников.

157. Стороны треугольника равны 25, 39 и 56. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.

§ 17

158. Через середину медианы AM равнобедренного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая боковые стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Найдите PQ, если AM = m, ∠BAM = α, ∠APQ = β.

159. Основание высоты AH треугольника ABC лежит на стороне BC, AC = 5 см, CH = 3 см. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10 см. Найдите AB.

160. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка M так, что AM = BM = 1. Найдите угол ABC, если AB = √2, BC = 2.

161. Внутри угла A, равного α, отмечена точка M, удаленная от сторон угла на расстояние a и b. Найдите AM.

162. Докажите, что углы произвольного треугольника ABC связаны равенством 2sin A * sin B * cos C – 1 = cos2 C – cos2 A – cos2 B.

163. На диаметре окружности отмечена точка M, хорда AB параллельна этому диаметру. Докажите, что величина MA2 + MB2 не зависит от положения хорды AB.

164. Отрезок AD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, равным 18 мм, CD = 12 мм. Найдите периметр треугольника ABC.

165. В треугольник ABC с периметром 55 см вписан ромб ADEF так, что точки D, E и F лежат соответственно на сторонах AB, BC и CA. Найдите AC и AB, если BE = 12 см, EC = 8 см.

166. Основание равнобедренного треугольника относится к его боковой стороне как 2 : 5, а высота, проведенная к основанию, равна 18 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса угла при основании делит указанную высоту.

167. На сторон BC треугольника ABC отмечена точка D так, что BD/AB = DC/AC. Докажите, что отрезок AD — биссектриса треугольника ABC.

168. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что если ∠ABD > ∠DBC, то AD/DC > AB/BC.

169. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором AB = c, BC = a и CA = b. Докажите, что BD = (ac)/(b+c) и CD = (ab)/(b+c).

170. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр вписанной в него окружности. Докажите, что AO : OD = (AB + AC) : BC.

171. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором AB = c, AC = b. На прямой AC отмечена такая точка E, что DE ⊥ AD. Докажите, что AE = (2bc)/(b+c).

172. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором AB = c, AC = b. Докажите, что AD = ((2bc)/(b + c)) cos (A/2).

173. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, AB = c, AC = b, BD = m, CD = n. Докажите, что AD2 = bc – mn.

174. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекает прямую AC в точке D. Найдите AD, если AB = 8 см, BC = 9 см, CA = 2 см.

175. Угол B — меньший из углов треугольника ABC со сторонами 16 см, 20 см и 24 см. Биссектрисы угла B и внешнего угла с вершиной B пересекают прямую AC в точках D и E. Найдите DE.

176. * Две окружности касаются друг друга извне. Докажите, что отрезок их общей касательной, концами которого являются точки касания, равен среднему геометрическому диаметров окружностей.

177. * Две окружности касаются друг друга извне. Прямая, проходящая через точку касания, пересекает окружности в точках P и Q, PM и QN — отрезки касательных, проведенные из точек P и Q к окружностям. Докажите, что PM2 + QN2 = PQ2.

178. * Две окружности пересекаются в точках A и B. Каждый из отрезков AC и AD является хордой одной окружности и касается другой. Докажите, что AC * BA = AD * BC.

179. * Две окружности касаются друг друга извне. Две прямые касаются одной окружности в точках A и B, другой — в точках C и D соответственно. Докажите, что четырехугольник ACDB — равнобедренная трапеция.

180. * Две окружности касаются друг друга изнутри в точке B, отрезок AB — диаметр большей окружности. Угол между хордами AC и AD, касающимися меньшей окружности, равен 60º. Найдите AC, если расстояние между центрами окружностей равно d.

181. * Две окружности радиусов 4 см и 1 см касаются друг друга изнутри. Хорда большей окружности касается меньшей окружности, а ее продолжение образует с общей касательной к окружностям угол в 60º. Найдите эту хорду.

182. * Окружности с центрами O1 и O2 касаются друг друга извне, и каждая из них касается изнутри окружности радиуса 10 с центром O3. Найдите периметр треугольника O1O2O3.

§ 18

183. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: по равному острому углу; по равному тупому углу; по прямому углу? Ответ обоснуйте.

184. На сторонах AC и BC треугольника ABC, в котором AB = 12 см, BC = 18 см, CA = 27 см, отмечены соответственно точки A1 и B1 так, что A1C = 18 см, B1C = 12 см. Докажите, что пять элементов (т. е. сторон и углов) треугольника ABC равны элементам треугольника A1B1C.

185. На боковой стороне CD трапеции ABCD, в котором BC : AD = 1 : 2, отмечена точка M так, что CM : MD = 1 : 2. Докажите, что прямая AM делит отрезок BD пополам.

186. На боковой стороне CD трапеции ABCD, в котором BC : AD = 1 : 3 и AB = AD, отмечена точка M так, что CM : MD = 2 : 3. Докажите, что BD ⊥ AM.

187. Докажите, что если угол A треугольника ABC вдвое больше угла B, то BC2 = AC2 + AB * AC, и обратно: если BC2 = AC2 + AB * AC, то угол A вдвое больше угла B.

188. Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке E. Докажите, что ∆ADC ~ ∆ABE, и, пользуясь этим, приведите еще одно решение задачи 173.

189. На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки P, Q, R и T так, что AP : CR = AT : CQ = 1 : 2. В каком отношении прямая QT делит отрезок PR?

190. Отрезок AB — диаметр окружности с центром O, хорда BC пересекает окружность с диаметром OB и центром O1 в точке M. Прямая MO1 пересекает большую окружность в точках P и Q, PM = 2 см, MQ = 8 см. Найдите BC.

191. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC, в котором AB : BC = 2 : 3. Прямая, проходящая через точку D, пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках P и Q. Найдите AC, если DP = 4 см, DQ = 6 см.

192. Луч AC — биссектриса угла A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность. Докажите, что AC * BD = AB * BC + AD * DC.

193. Постройте прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как 3 : 5, а периметр равен длине данного отрезка.

194. Постройте остроугольный треугольник по двум углам и отрезку, длина которого равна расстоянию от ортоцентра до вершины третьего угла.

195. Постройте равнобедренный треугольник, в котором высота, проведенная к основанию, относится к боковой стороне как 2 : 3, а периметр равен данному отрезку.

196. Даны угол и отрезок. Постройте треугольник ABC, в котором угол A равен данному углу, AB : AC = 2 : 3, а отрезок, соединяющий точку A с центром вписанной окружности, равен данному отрезку.

197. Даны угол и отрезок. Постройте треугольник ABC, в котором угол A равен данному углу, сторона BC равна данному отрезку и AB : AC = 3 : 5.