Симметрия

Точки A и A1 называются симметричными относительно точки O, если точка O — середина отрезка AA1 (рис. 68, а). Точка O считается симметричной самой себе.

На рисунке 68, б точки A и A1, B и B1 симметричны относительно точки O, а точки C и D не симметричны относительно этой точки, так как OC ≠ OD.

Симметрия относительно точки

Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка (относительно точки O) также принадлежит этой фигуре.

При этом точка O называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

На рисунке 69 изображена фигура, обладающая центральной симметрией. Если повернуть ее на 180º вокруг центра симметрии — точки O, то она совместится сама с собой, в частности, произвольная точка A фигуры перейдет в симметричную ей точку A1, а точка A1 — в точку A.

Фигуры, обладающие центральной симметрией

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются отрезок (см. рис. 68, а), окружность и параллелограмм (рис. 70), любой правильный 2n-угольник — центр такого многоугольника является центром его симметрии. Прямая также обладает центральной симметрией — любая точка прямой является ее центром симметрии. Примерами фигур, не имеющих центра симметрии, являются луч и треугольник.

Точки A и A1 называются симметричными относительно прямой a, если прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку AA1 (рис. 71, а). Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе.

Симметрия относительно прямой

На рисунке 71, б точки B и B1, C и C1 симметричны относительно прямой b, а точка A симметрична самой себе относительно этой прямой.

Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка (относительно прямой a) также принадлежит этой фигуре.

При этом прямая a называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

На рисунке 71, в изображена фигура, обладающая осевой симметрией. Если перегнуть эту фигуру по оси симметрии (прямой a), то левая часть фигуры (по отношению к прямой a) совместится с правой частью фигуры. При этом произвольная точка A фигуры наложится на симметричную ей точку A1.

Рассмотрим примеры фигур, обладающих осевой симметрией (рис. 72). Неразвернутый угол имеет одну ось симметрии. Равнобедренный, но не равносторонний треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат — четыре оси симметрии. Равнобедренная трапеция имеет одну ось симметрии, а окружность и также прямая — бесконечно много осей симметрии. У любого правильного n-угольника n осей симметрии. Примерами фигур, не имеющих осей симметрии, являются параллелограмм, отличный от прямоугольника и от ромба, неравнобедреный треугольник, неравнобедренная трапеция.

Фигуры, симметричные относительно прямой

С симметрией мы часто встречаемся в архитектуре и живописи, в техник и быту. Симметрией обладают многие предметы, встречающиеся в природе. О различных видах симметрии, наряду с центральной и осевой, можно прочитать в книге [4].

Симметрия в природе

Математика: