Теорема синусов

Теорема. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Доказательство. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Докажем, например, что BC = 2R * sin A.

Если отрезок BC — диаметр описанной окружности (рис. 100, а), т. е. BC = 2R, то ∠A = 90º, поэтому sin A = 1 и BC = 2R * sin A.

Сторона треугольника и синус противолежащего угла

Если же отрезок BC не является диаметром описанной окружности, то проведем диаметр BD (рис. 100, б, в) и рассмотрим треугольник DBC. Его угол C — прямой, поэтому

BC = BD * sin D = 2R * sin D.

Если точка D лежит на дуге BAC (рис. 100, б), то ∠D = ∠A (вписанные углы D и A опираются на одну и ту же дугу BC).

Если точка D не лежит на дуге BAC (рис. 100, в), то ∠D = 180º – ∠A (сумма противоположных углов D и A вписанного четырехугольника ABCD равна 180º).

И в том и в другом случае sin D = sin A. Таким образом, BC = 2R * sin A. Теорема доказана.

Важным следствием из доказанной теоремы является утверждение, называемое теоремой синусов.

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Тогда каждое из отношений BC/sin A, CA/sin B, AB/sin C равно 2R. Следовательно,

BC/sin A = CA/sin B = AB/sin C.

Теорема доказана.