Синус острого угла

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе. Синус острого угла α обозначается символом sin α (читается «синус альфа»).

Прямоугольный треугольник

На рисунке 91 катет BC является противолежащим углу A, поэтому sin A = BC/AB. Заметим, что

cos B = BC/AB = sin A,

а

cos A = AC/AB = sin B.

Поскольку ∠B = 90º – ∠A, то

sin A = cos (90º – A), cos A = sin (90º – A).

Эти формулы называются формулами приведения. Из них, в частности, следует, что

  • если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

В самом деле, если острые углы A и A1 прямоугольного треугольника ABC и A1B1C1 равны (см. рис. 90), то ∠B = ∠B1, поэтому sin A = cos B = cos B1 = sin A1.

Теперь можно говорить: «синус острого угла», не указывая при этом, об остром угле какого именно прямоугольного треугольника идет речь. Отметим, что синус острого угла (так же, как и косинус) меньше единицы.

Вывод тригонометрического тождества

Проведем из вершины прямого угла треугольника ABC высоту CH (рис. 92). Поскольку AC = AB · cos A, BC = AB · cos B и cos B = sin A, то

AH = AC · cos A = AB · cos2 A,
HB = BC · cos B = AB · cos2 B = AB · sin2 A

Подставляя эти выражения для AH и HB в равенство AH + HB = AB и сокращая на AB, получаем:

sin2 A + cos2 A = 1.

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Прямоугольные треугольники