Метод подобия

Метод подобия при решении задач на построение состоит в том, что сначала, используя только часть данных, строят фигуру, подобную искомой, а затем, привлекая остальные данные, строят искомую фигуру. Приведем пример решения задачи на построение методом подобия.

Задача. Построить треугольник ABC с данным острым углом B, в котором AB : BC = 3 : 2 и высота CD равна данному отрезку PQ.

Решение. На сторонах данного угла B отложим отрезки BA₁ и BC₁, равные соответственно 3PQ и 2PQ (рис. 114, а). Треугольник A₁BC₁ подобен искомому по первому признаку подобия треугольников. Если его высота C₁D₁ равна PQ, то треугольник A₁BC₁ — искомый.

Пусть C₁D₁ ≠ PQ. Искомая точка C находится от прямой BA₁ на расстоянии, равном PQ, т. е. принадлежит множеству точек, удаленных от прямой BA₁ на расстояние, равное PQ. Следовательно, точка C лежит на прямой, параллельной BA₁ и удаленной от неё на расстояние, равное PQ. Построим эту прямую (прямая a на рисунке 114, б) и обозначим буквой C точку ее пересечения с прямой BC₁.

Через точку C проведем прямую, параллельную A₁C₁ и пересекающую прямую BA₁ в некоторой точке A. Треугольник ABC искомый.

В самом деле, угол B у него данный, высота CD равна PQ, а так как AC || A₁C₁, то треугольники ABC и A₁BC₁ подобны (докажите это), поэтому AB : A₁B = BC : BC₁ и, следовательно,

AB : BC = A₁B : BC₁ = 3 : 2.