Свойство углов подобных треугольников

Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры (две вложенные друг в друга матрешки, здание и его макет и т. д.). В геометрии такие фигуры называются подобными. Изучение подобных фигур мы начнем с определения подобных треугольников.

Определение. Два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Подобные треугольники

Иными словами, два треугольника называются подобными, если для них можно ввести обозначения ABC и A1B1C1 (рис. 106) так, что A1B1/AB = B1C1/BC = C1A1/CA, или, что то же самое,

A1B1 = kAB, B1C1 = kBC, C1A1 = kCA,      (1)

где k — некоторое положительное число. Число k называется коэффициентом подобия треугольников A1B1C1 и ABC (точнее, коэффициентом подобия треугольника A1B1C1 относительно треугольника ABC). Подобие треугольников A1B1C1 и ABC обозначают так: ∆A1B1C1 ~ ∆ABC.

Подобные фигуры

Отметим, что если k = 1, то треугольники A1B1C1 и ABC равны по трем сторонам. Поэтому равенство треугольников является частным случаем их подобия.

Докажем теорему об углах подобных треугольников.

Теорема. Если два треугольника подобны, то углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника.

Доказательство. Пусть треугольники A1B1C1 и ABC подобны, т. е. их стороны связаны равенствами (1). Докажем, что ∠A1 = ∠A, ∠B1 = ∠B и ∠C1 = ∠C (рис. 107).

Равенство углов подобных треугольников

Рассмотрим сначала треугольник A1B1C1. По теореме косинусов

B1C12 = A1B12 + C1A12 – 2A1B1 * C1A1 * cos A1.

Подставляя сюда выражения сторон треугольника A1B1C1 по формулам (1) и сокращая на k2, получаем
BC2 = AB2 + CA2 – 2AB * CA * cos A1.
Рассмотрим теперь треугольник ABC. По теореме косинусов

BC2 = AB2 + CA2 – 2AB * CA * cos A.

Сопоставляя полученные равенства, приходим к выводу: cos A1 = cos A и, следовательно, ∠A1 = ∠A (см. п. 74).
Справедливость равенств ∠B1 = ∠B и ∠C1 = ∠C доказываются аналогично. Теорема доказана.