Признаки подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники A1B1C1 и ABC, у которых A1B1 = kAB, B1C1 = kBC, ∠B1 = ∠B (рис. 108). Докажем, что C1A1 = kCA и, следовательно, ∆A1B1C1 ~ ∆ABC.

Согласно теореме косинусов

C1A12 = A1B12 + B1C12 – 2A1B1 * B1C1 * cos B1 = k2(AB2 + BC2 – 2AB * BC * cos B) = k2CA2.

Итак, C1A12 = k2CA2, поэтому C1A1 = kCA. Теорема доказана.

Признаки подобия треугольников

Доказанная теорема выражает первый признак подобия треугольников. Докажем теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники A1B1C1 и ABC (рис. 109), у которых ∠A1 = ∠A, ∠B1 = ∠B, и докажем, что они подобны.

Так как углы A1 и A, B1 и B равны, то равны также углы C1 и C.

Пусть R1 и R — радиусы окружностей, описанных около треугольников A1B1C1 и ABC. Согласно теореме пункта 73

A1B1 = 2R1 sin C, B1C1 = 2R1 sin A, C1A1 = 2R1 sin B,
AB = 2R sin C, BC = 2R sin A, CA = 2R sin B.

Из этих равенств следует, что

A1B1/AB = B1C1/BC = C1A1/CA = R1/R.

Следовательно, стороны треугольника A1B1C1 пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е. треугольники подобны. Теорема доказана.