Пропорциональные отрезки

В 7 классе мы обсуждали вопрос о том, как измеряются отрезки в сантиметрах. За единицу измерения отрезков можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.

Действительно, пусть AB — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче AB будем откладывать отрезки AA1, A1A2, …, равные PQ (рис. 88) до того момента, когда либо точка An совпадет с точкой B, либо точка B окажется лежащей между точками An и An+1.

Измерение длины отрезка

Если точка An совпадет с точкой B, то говорят, что длина отрезка AB при единице измерения PQ выражается числом n (или что отрезок PQ укладывается в отрезке AB ровно n раз).

Если же точка B окажется лежащей между An и An+1 (при n = 0 в роли A0 выступает точка A), то можно сказать, что длина отрезка AB при единице измерения PQ приближенно выражается числом n. В этом случае для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток AnB.

Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то ее также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Таким способом можно измерить любой отрезок, т. е.

  • при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом, показывающим сколько раз эта единица и ее части укладываются в отрезке.

Число, выражающее длину отрезка AB при единице измерения CD, называется также отношением отрезка AB к отрезку CD.

Докажем, что

  • отношение отрезков равно отношению их длин при любой единице измерения.

Пусть a и b — числа, выражающие длины отрезков AB и CD при единице измерения EF, и пусть отношение отрезка AB к отрезку CD равно q. Нужно доказать, что q = a/b.
Поскольку в отрезке CD отрезок EF и его части укладывается b раз, а в отрезке AB отрезок CD и его части укладываются q раз, то в отрезке AB отрезок EF и его части укладываются b · q раз. Таким образом, b · q = a, откуда q = a/b.

Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если AB/A1B1 = CD/C1D1.

Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 3 см и 6 см, пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, длины которых равны 4 см и 8 см, поскольку AB/A1B1 = CD/C1D1 = ¾.

Говорят, что три отрезка AB, CD и EF пропорциональны трем отрезкам A1B1, C1D1 и E1F1, если AB/A1B1 = CD/C1D1 = EF/E1F1.

Аналогично определяется пропорциональность для большего числа отрезков.

Пропорции

Математика: