Ромб

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб является параллелограммом и поэтому обладает всеми свойствами параллелограмма. Но у него есть и особое свойство:

  • диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Обратимся к рисунку 63, на котором изображен ромб ABCD. Докажем, что AC ⊥ BD и каждая диагональ делит углы ромба пополам.

Ромб

По условию AB = AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Поскольку ромб — параллелограмм, то его диагонали пересекаются в некоторой точке O и делятся ею пополам. Отсюда следует, что медиана AO равнобедренного треугольника BAD является также его высотой и биссектрисой. Поэтому AC ⊥ BD и ∠BAC = ∠DAC. Справедливость равенства ∠BCA = ∠DCA, ∠ABD = ∠CBD и ∠ADB = ∠CDB доказывается аналогично.

Рассмотрим два признака ромба.

Теорема. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
Доказательство. Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD взаимно перпендикулярны (рис. 64). Докажем, что параллелограмм ABCD — ромб.

Диагонали ромба

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то AO = OC и BO = OD. Следовательно, прямоугольные треугольники OBA, OBC, ODC и ODA равны по двум катетам, поэтому AB = BC = CD = DA, т. е. параллелограмм ABCD — ромб. Теорема доказана.

Теорема. Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм — ромб.

Доказательство. Пусть диагональ BD параллелограмма ABCD делит угол B пополам (рис. 65): ∠ABD = ∠CBD. Докажем, что параллелограмм ABCD — ромб.

Углы ромба

Углы ABD и CDB равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей BD. Следовательно, ∠CDB = ∠CBD, поэтому треугольник CBD равнобедренный: BC = CD. Кроме того, AB = CD и BC = DA (как противоположные стороны параллелограмма). Таким образом, AB = BC = CD = DA, т. е. параллелограмм ABCD — ромб. Теорема доказана.

Математика: