Построение трех правильных многоугольников

С помощью циркуля и линейки построим золотое сечение данного отрезка PQ (см. п. 71), т. е. построим на нем такую точку M, что a/b = (b – a)/a, где a = PM и b = PQ (рис. 115, а). Затем построим равнобедренный треугольник ABC со сторонами BC = a, AB = AC = b и на его стороне AB отложим отрезок AD = a (рис. 115, б).

Треугольники CBD и ABC подобны по первому признаку: угол B у них общий, BC/AB = a/b = (b – a)/a = BD/BC. Поскольку AB = AC, то CD = CB = a, поэтому треугольники BCD и ADC равнобедренные (рис. 115, в) и, следовательно, ∠B = ∠C = 2∠A. Из треугольника ABC находим: ∠A + ∠B + ∠C = ∠A + 2∠A + 2∠A = 180º, откуда ∠A = 36º.

Подобные треугольники

Итак, мы можем построить с помощью циркуля и линейки угол в 36º. Кроме того, мы умеем строить угол в 30º. Поэтому мы можем построить угол в 6º (так как 6º = 36º – 30º), а значит, и угол в 3º.

Проведем теперь какую-нибудь окружность с центром O и построим ее центральный угол A1OA2, равный 8 * 3º = 24º. Поскольку 15 * 24º = 360º, то отрезок A1A2 равен стороне правильного 15-угольника, вписанного в эту окружность. Последовательно откладывая (начиная от точки A2) хорды, равные A1A2, получим правильный 15-угольник A1A2...A15. Аналогично, умея строить углы в 36º и 72º, можно построить правильный 10-угольник и правильный 5-угольник.