Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и равны все его углы. Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 50 изображены правильные пятиугольник, шестиугольник и семиугольник. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Правильные многоугольники
Теорема. Около правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство. Пусть O — точка пересечения биссектрис углов A1 и A2 правильного многоугольника A1A2...An (рис. 51). Докажем сначала, что OA1 = OA2 = … = OAn.

Поскольку ∠A1 = ∠A2, то углы, прилежащие к стороне A1A2 треугольника OA1A2, равны, поэтому OA1 = OA2. Треугольники OA1A2 и OA3A2 равны по первому признаку равенства треугольников (A2A1 = A2A3, A2O — общая сторона и ∠OA2A1 = ∠OA2A3). Следовательно, OA3 = OA1.

Аналогично доказывается, что ∆OA2A3 = ∆OA4A3, ∆OA3A4 = ∆OA5A4, …, поэтому OA4 = OA2, OA5 = OA3, … .

Таким образом, OA1 = OA2 = … = OAn. Из этого следует, что окружность с центром O радиуса OA1 проходит через все вершины многоугольника, т. е. является описанной около этого многоугольника.

Через точки A1, A2 и A3 проходит только одна окружность. Следовательно, около многоугольника A1A2...An можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

Докажем теперь теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Теорема. В правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство. Пусть O — центр окружности, описанной около правильного многоугольника A1A2...An (рис. 52). Проведем высоту OH1 треугольника OA1A2. Докажем сначала, что окружность с центром O радиуса OH1 является вписанной в многоугольник A1A2...An.

Вписанная окружность

В ходе доказательства теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника, мы установили, что ∆OA1A2 = ∆OA2A3 = … = ∆OAnA1, поэтому высоты OH1, OH2, …, OHn этих треугольников также равны. Следовательно, окружность с центром O радиуса OH1 проходит через точки H1, H2, …, Hn и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. является окружностью, вписанной в данный многоугольник.

Докажем теперь, что вписанная окружность только одна. Предположим, что имеются две окружности, вписанные в многоугольник A1A2...An. Тогда центр каждой из них равноудален от сторон многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой O пересечения биссектрис углом многоугольника.

Радиус каждой окружности равен расстоянию от точки O до сторон многоугольника, т. е. равен OH1. Таким образом, центры и радиусы этих окружностей совпадают, поэтому совпадают и сами окружности. Теорема доказана.

Следствие. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Центр этих окружностей называется центром правильного многоугольника.

Замечание. Многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Построения правильного треугольника и правильного четырехугольника, т. е. квадрата, не вызывают затруднений.

Если уже построен какой-нибудь правильный n-угольник, то можно построить правильный 2n-угольник. В самом деле, пусть A1A2... An — построенный правильный n-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов A1 и A2, обозначим буквой O точку из пересечения, а затем проведем окружность с центром O радиуса OA1 (рис. 53, а). Далее проведем биссектрисы углов A1OA2, A2OA3, … до пересечения с описанной окружностью в точках B1, B2, …, Bn (рис. 53, б; на нем n = 6). Многоугольник A1B1A2B2...Bn — искомый 2n-угольник (докажите это).

Построение правильного многоугольника

Применяя этот прием, можно построить целый ряд правильных многоугольников. Так, построив квадрат, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2k-угольник, где k — любое целое число больше двух.

Оказывается, однако, что не любой правильный многоугольник допускает построение с помощью циркуля и линейки. Доказано, например, что правильный семиугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить правильный семнадцатиугольник.

Математика: