Признаки прямоугольника

Теорема. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство. Пусть в параллелограмме ABCD угол A прямой (рис. 61). Докажем, что параллелограмм ABCD — прямоугольник, т. е. все его углы прямые.

Прямоугольник

Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то ∠C = ∠A = 90°, ∠B = ∠D = ½ (360° – ∠A – ∠C) = 90°. Таким образом, все углы четырехугольника ABCD — прямые. Теорема доказана.

Теорема. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство. Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD равны. Докажем, что параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Поскольку противоположные стороны AB и CD параллелограмма равны (рис. 62), то треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам. Следовательно, углы A и D параллелограмма равны. Но ∠A + ∠D = 180º, поэтому 2∠A = 180º, т. е. ∠A = 90º. По предыдущей теореме параллелограмма ABCD — прямоугольник. Теорема доказана.

Диагонали прямоугольника

Справедливо и обратное утверждение (свойство прямоугольника):

  • диагонали прямоугольника равны.

В самом деле, противоположные стороны AB и CD прямоугольника ABCD равны (см. рис. 62). Следовательно, прямоугольные треугольники ABD и DCA равны по двум катетам, поэтому их гипотенузы, т. е. диагонали прямоугольника, равны.

Математика: