Четырехугольник

Четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 46). Две вершины четырехугольника, являющиеся концами одной и той же диагонали, называются противоположными; две несмежные стороны четырехугольника также называются противоположными. На рисунке 46 противоположными вершинами являются A1 и A3, A2 и A4, а противоположными сторонами – A1A2 и A3A4, A2A3 и A4A1.

Ясно, что любой треугольник является выпуклым многоугольником. Четырехугольники же бывают как выпуклыми, так и невыпуклыми. На рисунке 46, а изображен выпуклый четырехугольник, а на рисунке 46, б — невыпуклый.

Четырехугольники

Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника (см. рис. 46, а); одна из диагоналей невыпуклого четырехугольника также разделяет его на два треугольника (на рисунке 46, б такой диагональю является A1A3); диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются (рис. 46, б). Доказательства этих утверждений приведены на с. 147.

В отличие от треугольника в четырехугольник не всегда можно вписать окружность. Например, нельзя вписать окружность в прямоугольник, не являющийся квадратом (рис. 47). Объясняется это тем, что стороны описанного четырехугольника обладают следующим свойством:

  • в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны (доказательство приведено на рисунке 48).

Описанный четырехугольник

Справедливо и обратное утверждение, выражающее признак описанного четырехугольника:

  • если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (см. задачу 79 и указание к ней).

Около четырехугольника (в отличие от треугольника) не всегда можно описать окружность. Например, нельзя описать окружность около четырехугольника AMCD, изображенного на рисунке 42. Это связано с тем, что углы вписанного четырехугольника обладают следующим свойством:

  • в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180º.

В самом деле, по теореме о вписанном угле ∠A = ½ ◡BCD, ∠C = ½ ◡BAD (рис. 49), поэтому

∠A + ∠C = ½ (◡BCD + ◡BAD) = ½ 360º = 180º.

Аналогично доказывается, что ∠B + ∠D = 180º.

Вписанный четырехугольник

Справедливо и обратное утверждение, выражающее признак вписанного четырехугольника:

  • если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180º, то около него можно описать окружность (см. задачу 78 и указание к ней).
Математика: