Теорема Пифагора

Теорема, которую мы сейчас докажем, называется теоремой Пифагора и является одной из важнейших теорем геометрии.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 94) и докажем, что AB2 = AC2 + BC2.

Поскольку AC = AB · cos A и BC = AB · sin A, то

AC2 + BC2 = AB2 · (cos2 A + sin2 A) = AB2.

Теорема доказана.

Формулировка теоремы Пифагора была известна еще за 2000 лет до нашей эры, но ее доказательство, по-видимому, впервые нашел древнегреческий ученый Пифагор. В настоящее время известно более ста доказательств этой теоремы.

Докажем теперь теорему, обратную теореме Пифагора.

Теорема. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB2 = AC2 + BC2 (рис. 95), и докажем, что ∠C = 90º.

Прямоугольный треугольник

Построим прямоугольный треугольник A1B1C1 с прямым углом C1 и катетами A1C1 = AC и B1C1 = BC. По теореме Пифагора A1B12 = A1C12 + B1A12, поэтому A1B12 = AC2 + BC2 = AB2, откуда следует, что A1B1 = AB.

Таким образом, треугольники A1B1C1 и ABC равны по трем сторонам и, следовательно, ∠C = ∠C1 = 90º. Теорема доказана.

Согласно обратной теореме Пифагора треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный (так как 52 = 32 + 42). По аналогичной причине прямоугольными являются треугольники со сторонами 5, 12, 13, со сторонами 8, 15, 17, со сторонами 7, 24, 25 (убедитесь в этом). Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются натуральными числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Можно доказать [12], что катеты a и b и гипотенуза c всех пифагоровых треугольников выражаются следующими формулами: a = 2klm, b = k(l2 – m2), c = k(l2 + m2), где k, l и m — производные натуральные числа, l > m.

Треугольники со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, поскольку он был известен еще древним египтянам. Для построения прямых углов на местности они поступали так: завязывали на веревке узелки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле при помощи кольев в треугольник со сторонами 3, 4, 5. В результате угол между сторонами 3 и 4 оказывался прямым.