Построение пропорциональных отрезков

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач на построение. Приведем два примера.

Задача. Разделить данный отрезок AB на отрезки AM и MB, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.

Решение. Проведем какой-нибудь луч с началом A, не лежащий на прямой AB, и отложим на нем последовательно отрезки AC и CD, равные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2 (рис. 112).

Проведем прямую BD, а затем через точку C проведем прямую, параллельную BD. Она пересечет прямую AB в некоторой точке M.

Треугольники ABD и AMC подобны по второму признаку подобия треугольников (угол A у них общий, углы B и M — соответственные, образованные при пересечении параллельных прямых BD и MC секущей AB), поэтому

AD/AC = AB/AM,

т. е.

(AC + CD)/AC = (AM + MB)/AM.

Из этого следует, что

CD/AC = MB/AM,

или

AM/AC = MB/CD.

Так как AC = P1Q1 и CD = P2Q2, то AM/P1Q1 = MB/P2Q2. Таким образом, точка M — искомая.

Задача. Даны три отрезка с длинами a, b и c. Построить отрезок, длина которого равна ab/c.

Решение. Построим какой-нибудь неразвернутый угол с вершиной O и на одной из его сторон отложим последовательно отрезки OC = c и CB = b, а на другой стороне — отрезок OA = a (рис. 113). Проведем прямую AC, а затем через точку B проведем прямую, параллельную AC. Она пересечет прямую OA в некоторой точке M. Отрезок AM искомый.

В самом деле, в ходе решения предыдущей задачи мы установили, что a/c = AM/b (сравните рисунки 112 и 113). Следовательно,

AM = ab/c.

Математика: