Задачи по геометрии с практическим содержанием

Глава 4

1. С помощью одного лишь угольника (рис. 117) проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой.

2. С помощью одного лишь угольника постройте середину данного отрезка.

3. На листе бумаги нарисованы отрезки двух лучей, образующих угол, вершина которого лежит вне листа. С помощью циркуля и линейки постройте ту часть биссектрисы этого угла, которая лежит на листе бумаги.

4. С помощью одной двусторонней линейки (т. е. линейки с двумя параллельными краями) без циркуля постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки. 5. На большом листе бумаги отмечены точки A и B, расстояние между которыми больше 1 м. С помощью линейки, длина которой равна 20 см, и циркуля, раствор которого не может быть больше 10 см, постройте отрезок AB.

Глава 5

1. Объясните принцип действия чертежного инструмента, позволяющего проводить параллельные прямые (рис. 118).

2. Объясните, почему стержни, поддерживающие чашки весов, изображенных на рисунке 119, сохраняют вертикальное положение при качании коромысла.

3. Чтобы найти расстояние между недоступными точками A и B, можно поступить так. На произвольной прямой a найти такие точки C и D, для которых AC ⊥ a, BD ⊥ a, и отметить середину M отрезка CD. Далее найти точки P и Q пересечения прямых AM и BD, BM и AC и измерить отрезок PQ. Его длина будет равна искомому расстоянию. Докажите это.

4. С помощью одной двусторонней линейки (без циркуля) постройте биссектрису данного угла.

5. Четырехугольный лист бумаги перегнули сначала по одной диагонали, затем по другой. И в том и в другом случае две половины листа полностью совместились. Следует ли из этого, что лист квадратный?

6. Человек ростом 1 м 70 см смотрится в зеркало, высота которого равна 90 см. Может ли он увидеть себя в полный рост?

7. Как следует направить стоящий около борта прямоугольного бильярдного стола шар, чтобы после отражении от трех остальных бортов он вернулся в исходную точку?

Глава 6

1. У одного берега реки пришвартованы катера A и B, а у другого – катер C. Известно, что АВ = 80 м, ∠ВАС = ЗЗº38´ и ∠ABC = 78º46´. Найдите ширину реки.

2. В лесу для определения высоты дерева можно воспользоваться растущим поблизости маленьким деревцем. Исходя из рисунка 120, найдите высоту дерева, если высота деревца равна 1,6 м, AB =1,2 м и AC = 5,4 м.

3. Длина тени дерева равна 8,4 м, а длина тени человека, рост которого 1,8 м, равна 2,4 м. Найдите высоту дерева.

4. Для определения высоты дома можно воспользоваться лужей Исходя из рисунка 121, на котором ∠1 = ∠2, найдите высоту дома, если расстояние от земли до глаз человека равно 1,7 м, AB = 85 см и BC = 8,5 м.

5. Для определения расстояния от точки A до недоступной точки B выбрали точку C и измерили отрезок AC, углы BAC и ACB, а затем построили на бумаге треугольник A1B1C1, подобный треугольнику ABC. Исходя из рисунка 122, найдите AB, если AC = 100 м, A1C1 = 10 см, A1B1 = 10,7 см.

6. На рисунке123 показано, как можно определить ширину реки Исходя из этого рисунка, найдите ширину реки.

7. Две деревни разделены лесом. Как проложить соединяющую их прямолинейную дорогу, используя пункт, из которого видны обе деревни?

8. На расстоянии 2 м 40 см от берега реки растет камыш, возвышающийся над водой на 1 м 80 см. Когда этот камыш за верхушку подтянули к берегу, он скрылся под водой. Найдите глубину реки в том месте, где растет камыш.

9. Чему равно расстояние от лодки до маяка, высота которого равна 180 м, в тот момент, когда плывущие в лодке смогли его увидеть? (Радиус земного шара считать равным 6400 км.)

10. Чему равно расстояние от корабля до маяка, высота которого равна 180 м, в тот момент, когда матрос на вершине мачты, находящийся на высоте 60 м над уровнем моря, смог его увидеть? (Радиус земного шара считать равным 6400 км.)

11. На рисунке 124 буквами α и β обозначены углы попадания мяча в ворота, если мяч направляется соответственно из точки А и из точки В прямо против ворот. Какой из углов α и β больше?

12. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два равных треугольника, подобных исходному?

13. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на три равных треугольника, подобных исходному?

14. Наблюдатель устанавливает вертикально шест и отходит от него так, чтобы при взгляде на вершину отвесной скалы она была на одной прямой с верхним концом шеста. Вычислите высоту горы, если известны расстояние от шеста до скалы, расстояние от шеста до наблюдателя, высота шеста и расстояние от глаз наблюдателя до земли.

15. Годичный параллакс звезд. В астрономии годичным параллаксом звезды называют угол, под которым виден с нее отрезок, соединяющий Землю и Солнце (имеется в виду средняя за год величина такого угла, потому что при вращении Земли вокруг Солнца он меняется). Впервые такой угол удалось измерить немецкому астроному и математику Фридриху Бесселю (1784-1846) в 1838 г. для звезды 61 в созвездии Лебедя, и по его измерениям он оказался равным 0,314". (Согласно современным измерениям параллакс этой звезды равен 0,292"). Радиус орбиты Земли (т. е. расстояние от Земли до Солнца) астрономы научились измерять очень давно, а если известны этот радиус и углы α и β на рисунке 125, то можно вычислить расстояние от Земли до звезды (отрезки AC и BC на рисунке 125). Выведите формулу, выражающую длины отрезков AC и BC через радиус орбиты Земли и углы α и β.

Математика: